东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科）
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
(1)已知集合A?{x?2?x?0},B?{?2,?1,0,1,2}，则AB?
(A){?2,?1} (B){?2,0} (C){?1,0}
(D){?2,?1,0}
(2)下列复数为纯虚数的是
(A)1?i (B) i?i (C) 1? (D)(1?i) (3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是 (A)y?x?x (C) y?2x?3
23221i2 (B) y?log2x (D)y?2 x(4)执行如图所示的程序框图，若输入的n?5,m?3，则输出的p值为 (A)360 (C) 36
(B) 60
(D)12
(5)“m?5??”是“函数f(x)?cos(2x?)的图象关于直线x?m对称”的 126 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6) 某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的
2 长度为 (A) 2 (C) 22
(7)在极坐标系中，下列方程为圆?=2sin?的切线方程的是 (A) ?cos??2 (B) ??2cos? (C) ?cos???1 （D）?sin???1
(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE?4.8?1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则
(B)5 (D) 3
2正（主）视图1侧（左）视图俯视图E1的值所在的区间为 E2(A)(1,2) (B) (5,6)
(C) (7,8) (D)(15,16)
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若x,?x≤2,y满足??y≤2x,则x?2y的最小值为 .
?x?y≥3，?
x2y2(10)已知双曲线??1的一个焦点为(23,0)，则m?______.m3m
(11)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1??1,b1?2，a3?b2??1，试写出一组满足
条件的数列{an}和{bn}的通项公式：an? ，bn? . (12)在菱形ABCD中，若BD?3，则CB?DB的值为 . (13)函数f(x)?sin(x?)?cos(x?)在区间[??6?3?2,?]上的最大值为 . 63
(14)已知函数f(x)定义域为R，设Ff(x)????f(x)，f(x)?1,??1，f(x)?1.
x2①若f(x)?，则Ff(1)?_______；
1?x2②若f(x)?ea?x?1，且对任意x?R，Ff(x)?f(x)，则实数a的取值范围为________ .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)（本小题13分）
在△ABC中，2csinAcosB?asinC. （Ⅰ）求?B的大小；
(Ⅱ)若△ABC的面积为a2，求cosA的值.
(16)（本小题13分）
某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，[10,12)，[12,14)，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[14,16)，[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样
本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E(X).
(17)（本小题14分）
如图1，在四边形ABCD中，AD图2)，G是BF的中点. (Ⅰ)证明：AC?EG；
(Ⅱ)在线段BC上是否存在一点H，使得DH不存在，说明理由；
(Ⅲ)求二面角D?AC?F的大小.
BC?2AD,E,F分别为AD,BC的中点，BC，
AE?EF，AF?2AE.将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE?平面EFCD(如
平面ABFE？若存在，求
BH的值；若BC
(18)（本小题13分）
已知函数f(x)?axe?x?2x．
(Ⅰ) 当a?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
x2(Ⅱ) 当x?0时，若曲线y?f(x)在直线y??x的上方，求实数a的取值范围．
东城区2019届高三第一学期期末数学（理）试题及答案（官方版）
