§14. 导 数 知识要点 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数的运算法则 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 导 数 导数的运算 导数的应用 1. 导数(导函数的简称)的定义:设x0是函数y?f(x)定义域的一点,如果自变量x在x0处有增量?x,则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0);比值?yf(x0??x)?f(x0)称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率;如果极限??x?xf(x0??x)?f(x0)?y存在,则称函数y?f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做?lim?x?0?x?x?0?xlim记作f'(x0)或y'|x?x0,即f'(x0)=limy?f(x)在x0处的导数,
f(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x注:①?x是增量,我们也称为“改变量”,因为?x可正,可负,但不为零.
②以知函数y?f(x)定义域为A,y?f'(x)的定义域为B,则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系:
⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果y?f(x)在点x0处可导,那么y?f(x)点x0处连续. 事实上,令x?x0??x,则x?x0相当于?x?0.
于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]x?x0?x?0?x?0
f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).?x?0?x?0?x?0?x?0?x?x⑵如果y?f(x)点x0处连续,那么y?f(x)在点x0处可导,是不成立的. ?lim[例:f(x)?|x|在点x0?0处连续,但在点x0?0处不可导,因为?y?y?y不存在. ??1,故lim?1;当?x<0时,
?x?0?x?x?x?y|?x|,当?x>0时,??x?x注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义:
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率,也就是说,曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0),切线方程为
y?y0?f'(x)(x?x0).
4. 求导数的四则运算法则:
(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)
(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'(c为常数)
vu'?v'u?u?(v?0) ???v2?v?'注:①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、
积、商不一定不可导.
22例如:设f(x)?2sinx?,g(x)?cosx?,则f(x),g(x)在x?0处均不可导,但它们和
xxf(x)?g(x)?
sinx?cosx在x?0处均可导.
5. 复合函数的求导法则:fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性:
⑴函数单调性的判定方法:设函数y?f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,则y?f(x)为增函数;如果f'(x)<0,则y?f(x)为减函数. ⑵常数的判定方法;
如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0,则y?f(x)为常数.
注:①f(x)?0是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如y?2x3在(??,??)上并不是都有
f(x)?0,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样f(x)?0是f(x)递减的充分非必要条
件.
②一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法:(极值是在x0附近所有的点,都有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的极大值,极小值同理)
当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号,而不是f'(x)=0. 此外,函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
注①: 若点x0是可导函数f(x)的极值点,则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数y?f(x)?x3,x?0使f'(x)=0,但x?0不是极值点.
②例如:函数y?f(x)?|x|,在点x?0处不可导,但点x?0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数:
'I.C'?0(C为常数) (sinx)?cosx (arcsinx)?②
'11?x2
(xn)'?nxn?1(n?R) (cosx)'??sinx (arccosx)'??11?x2
II. (lnx)'?1'11 (logax)'?logae (arctanx)?2 xxx?11x2?1
(ex)'?ex (ax)'?axlna (arccotx)'??III. 求导的常见方法:
(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结
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