§14. 导 数 知识要点 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数的运算法则 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 导 数 导数的运算 导数的应用 1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值?yf(x0??x)?f(x0)称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极限??x?xf(x0??x)?f(x0)?y存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做?lim?x?0?x?x?0?xlim记作f'(x0)或y'|x?x0，即f'(x0)=limy?f(x)在x0处的导数，
f(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x注：①?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零.
②以知函数y?f(x)定义域为A，y?f'(x)的定义域为B，则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0.
于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]x?x0?x?0?x?0
f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).?x?0?x?0?x?0?x?0?x?x⑵如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不成立的. ?lim[例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导，因为?y?y?y不存在. ??1，故lim?1；当?x＜0时，
?x?0?x?x?x?y|?x|，当?x＞0时，??x?x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为
y?y0?f'(x)(x?x0).
4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)
(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）
vu'?v'u?u?(v?0) ???v2?v?'注：①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、
积、商不一定不可导.
22例如：设f(x)?2sinx?，g(x)?cosx?，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们和
xxf(x)?g(x)?
sinx?cosx在x?0处均可导.
5. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数. ⑵常数的判定方法；
如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y?f(x)为常数.
注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有
f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条
件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）
当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0. 此外，函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?f(x)?x3，x?0使f'(x)=0，但x?0不是极值点.
②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：
'I.C'?0（C为常数） (sinx)?cosx (arcsinx)?②
'11?x2
(xn)'?nxn?1（n?R） (cosx)'??sinx (arccosx)'??11?x2
II. (lnx)'?1'11 (logax)'?logae (arctanx)?2 xxx?11x2?1
(ex)'?ex (ax)'?axlna (arccotx)'??III. 求导的常见方法：
(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结
