??????n?BC?0,??x?3z?0,则?????即?可取n＝(3，1，－1)． ??n?BB1?0,???x?3y?0.????????10n?A1C故cos〈n，AC〉＝＝. ?????15nA1C所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为
10. 519．
解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以 P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝
41113????. 161616264411111??，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝. 161616164X P 400 500 800 (2)X可能的取值为400,500,800，并且
P(X＝400)＝1?所以X的分布列为 11 161 161 4EX＝400?1111+500?+800?＝506.25. 1616420．
解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，
x2y2?=1(x≠－2)． 其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
22
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)＋y＝4. 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23. 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)． 由l与圆M相切得解得k＝?|QP|R?，可求得Q(－
|QM|r1|3k|1?k2=1，
2. 4x2y222x?2代入?=1， 当k＝时，将y?4443并整理得7x＋8x－8＝0，
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2
解得x1,2＝
?4?62. 7所以|AB|＝1?k2|x2?x1|?当k??18. 7218时，由图形的对称性可知|AB|＝. 4718综上，|AB|＝23或|AB|＝.
721．
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
x而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e(cx＋d＋c)， 故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
2x(2)由(1)知，f(x)＝x＋4x＋2，g(x)＝2e(x＋1)．
x2
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2ke(x＋1)－x－4x－2，
xx则F′(x)＝2ke(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(ke－1)． 由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.
2
①若1≤k＜e，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)． 而F(x1)＝2x1＋2－x1－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
22x－2
②若k＝e，则F′(x)＝2e(x＋2)(e－e)．
从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增． 而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
2－2－22
③若k＞e，则F(－2)＝－2ke＋2＝－2e(k－e)＜0. 从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
2
综上，k的取值范围是[1，e]．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．
(1)证明：连结DE，交BC于点G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为DB⊥BE，
所以DE为直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB＝DC.
(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC的中垂线，所以BG＝23. 2设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于23．
3. 2?x?4?5cost,22
解：(1)将?消去参数t，化为普通方程(x－4)＋(y－5)＝25，
?y?5?5sint即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0.
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2
2
?x??cos?,22将?代入x＋y－8x－10y＋16＝0得 ?y??sin?ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为 2
ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
22
(2)C2的普通方程为x＋y－2y＝0.
2
?x2?y2?8x?10y?16?0,由?2 2?x?y?2y?0?x?1,?x?0,解得?或?
y?2.y?1??所以C1与C2交点的极坐标分别为?2,??π??π??，?2,?. 4??2?24．
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
1??5x,x?,?2?1?则y＝??x?2,?x?1,
2??3x?6,x?1.??其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈???a1?,?时，f(x)＝1＋a. ?22?不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
?a1?,?都成立． 22??a4故?≥a－2，即a?.
234??从而a的取值范围是??1,?.
3??所以x≥a－2对x∈??
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2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
