24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1，且当x∈???a1?,?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 22??2013 全国新课标卷1理科数学 第6页
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B
解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. ∴集合A与B可用图象表示为：
由图象可以看出A∪B＝R，故选B. 2． 答案：D
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
55(3?4i)34???i. 3?4i(3?4i)(3?4i)554故z的虚部为，选D.
5∴z?3． 答案：C
解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4． 答案：C
c2a2?b25c52解析：∵e??，∴e?2??. 2a2aa4b122
∴a＝4b，=?.
a2b1∴渐近线方程为y??x?x.
a2
5．
答案：A
解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．
2
若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t，其对称轴为t＝2.
故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]． 综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A. 6． 答案：A
解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
222
由R＝(R－2)＋4，得R＝5， 所以球的体积为
43500π5?π(cm3)，故选A. 337．
答案：C
解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3. ∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.
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m?m?1?m?131＝0，∴a1??. 22m?1又∵am＋1＝a1＋m31＝3，∴??m?3.
2∵Sm＝ma1＋
∴m＝5.故选C. 8． 答案：A
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr3439． 答案：B
解析：由题意可知，a＝C2m，b＝C2m?1， 又∵13a＝7b，∴13?即
mm2
1＋43232＝8π＋16.故选A. 2?2m?!?2m?1?!， =7?m!m!m!?m?1?!132m?1.解得m＝6.故选B. ?7m?110． 答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，
?x12y12??1,①??a2b2∴?2 2?x2?y2?1,②??a2b2①－②，得
?x1?x2??x1?x2??y1?y2??y1?y2??=0， 22ab?y?y2??y1?y2?b2即2=?1， a?x1?x2??x1?x2?∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，
y1?y2b210???1?1而＝kAB＝=，∴2=. x1?x2a23?12又∵a－b＝9，∴a＝18，b＝9.
2
2
2
2
x2y2?=1.故选D. ∴椭圆E的方程为
18911． 答案：D
解析：由y＝|f(x)|的图象知：
①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.
22
②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x＋2x|＝x－2x.
2
故由|f(x)|≥ax得x－2x≥ax. 当x＝0时，不等式为0≥0成立． 当x＜0时，不等式等价于x－2≤a. ∵x－2＜－2，∴a≥－2. 综上可知：a∈[－2,0]． 12． 答案：B
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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2
解析：∵c＝ta＋(1－t)b，
2
∴b2c＝ta2b＋(1－t)|b|.
又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c， ∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)， 0＝
1t＋1－t. 2∴t＝2.
n－1
14．答案：(－2)
21an?，① 3321∴当n≥2时，Sn?1?an?1?.②
3322①－②，得an?an?an?1，
33a即n＝－2. an?121∵a1＝S1＝a1?，
33解析：∵Sn?∴a1＝1.
n－1
∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2). 15．答案：?25 5解析：f(x)＝sin x－2cos x
2?1?sinx?cosx?，
5?5?12令cos α＝，sin α＝?，
55则f(x)＝5sin(α＋x)，
π当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，
2π即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，
2225π???π???所以cos θ＝cos?2kπ+???＝cos????＝sin α＝?.
525???2?＝5?16．答案：16
解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称， ∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，
?b??15?16?4a?b?,即?
0??8?9?3a?b?,?解得??a?8,
b?15.?2013 全国新课标卷1理科数学 第9页
∴f(x)＝－x－8x－14x＋8x＋15.
32
由f′(x)＝－4x－24x－28x＋8＝0， 得x1＝－2－5，x2＝－2，x3＝－2＋5. 易知，f(x)在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．
∴f(－2－5)＝[1－(－2－5)][(－2－5)＋8(－2－5)＋15] ＝(－8－45)(8－45) ＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋83(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.
2
2
432
f(－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15]
＝(－8＋45)(8＋45) ＝80－64＝16.
故f(x)的最大值为16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA中，由余弦定理得PA＝3?故PA＝2
117?2?3?cos 30??. 4247. 23sin??，
sin150?sin(30???)(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在△PBA中，由正弦定理得
化简得3cos α＝4sin α. 所以tan α＝
33，即tan∠PBA＝. 4418．
(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB. 又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两相互垂直．
????????以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)． 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
????????????????则BC＝(1,0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)，AC＝(0，?3，3)． 12013 全国新课标卷1理科数学 第10页
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
