1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知:如图1所示,?ABC 中,∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90,,,。 求证:DE =DF
C F B A E D 图1
分析:由?ABC 是等腰直角三角形可知,∠=∠=?A B 45,由D 是AB 中点,可考虑连结CD ,易得CD AD =,∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明:连结CD
AC BC A B ACB AD DB
CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90,,,, ∴?∴=??A D E CDF
DE DF
说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD ,因为CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ,使DG =DE ,连结BG ,证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。
例2. 已知:如图2所示,AB =CD ,AD =BC ,AE =CF 。 求证:∠E =∠F D B C F A 图2
证明:连结AC 在?ABC 和?CDA 中,
AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF BE DF
===∴?∴∠=∠==∴=,,,??( 在?BCE 和?DAF 中,
BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F =∠=∠=??? ?
?∴?∴∠=∠??(
说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意:
(1制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。
例3. 如图3所示,设BP 、CQ 是?ABC 的内角平分线,AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。
求证:KH ∥BC B C M N Q P K H 图3
分析:由已知,BH 平分∠ABC ,又BH ⊥AH ,延长AH 交BC 于N ,则BA =BN ,AH =HN 。同理,延长AK 交BC 于M ,则CA =CM ,AK =KM 。从而由三角形的中位线定理,知KH ∥BC 。
证明:延长AH 交BC 于N ,延长AK 交BC 于M ∵BH 平分∠ABC ∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH
∴==?∠∠A H B N H B 90 BH =BH
∴?∴==??ABH NBH ASA BA BN AH HN (,
同理,CA =CM ,AK =KM ∴KH 是?AMN 的中位线 ∴KH MN // 即KH//BC 说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称而成一个等腰三角形。
例4. 已知:如图4所示,AB =AC ,∠,,A AE BF BD DC =?==90。 求证:FD ⊥ED B C A F E D 3 21图4
证明一:连结AD AB AC BD DC DAE DAB BAC BD DC
BD AD B DAB DAE
==∴+=?==?=∴=∴==,∠∠,∠∠∠,∠∠∠129090 在?ADE 和?BDF 中,
AE BF B DAE AD BD ADE BDF FD ED
===∴?∴∠=∠∴∠+∠=?∴⊥,∠∠,??31 3290
说明:有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二:如图5所示,延长ED 到M ,使DM =ED ,连结FE ,FM ,BM B C A E F D M 图5 BD DC
BDM CDE DM DE BDM CDE CE BM C CBM BM AC
初一几何难题_练习题(含答案).
