2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
文科数学(二) 【p255】
(函数的定义、定义域、值域、性质) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合M＝{1，－1，0}，N＝{a，b}，f：x→x2为从M到N的映射，则a＋b等于( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
【解析】由映射关系可知， ±1映射到1，0映射到0，即a，b为0和1，则a＋b＝1，故选A.
【答案】A
2．已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是( ) A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】函数f(x)＝x2＋2－mx＋m2＋12为偶函数，
则满足f(x)＝f－x，即x＋2－mx＋m＋12＝－x－2－mx＋m2＋12，解得2
2
2
()
()()()(
2
)
－m＝0，即m＝2.故选C.
【答案】C
3．函数f(x)＝3x2－2x－3的单调减区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－∞，2)
【解析】设函数y＝3t，t＝x2－2x－3 ，是复合函数，外层是增函数，要求复合函数的减区间，只需要求内层的减区间， t＝x2－2x－3 的减区间为－∞，1.故选B.
【答案】B
()
?（1－2a）x＋3a，x<1，
4．已知f(x)＝?的值域为R，那么a的取值范围是( )
?ln x，x≥1
1－1，? A．(－∞，－1] B.?2??11
－1，? D.?0，? C.?2???2?【解析】要使函数f(x)的值域为R， 1??1－2a>0，a<，??2需使?∴?
??ln 1≤1－2a＋3a，??a≥－1，11
－1，?. ∴－1≤a<，即a的取值范围是?2??2【答案】C
4
5．设p：f(x)＝x3－2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上单调递增；q：m>，则p是q的( )
3A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．以上都不对
【解析】∵f(x)＝x3－2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝3x2－4x＋m，即3x2－4x＋m≥0在R上恒成立，
44
∴Δ＝16－12m≤0，即m≥，即p：m≥，
33
4
又因为q：m＞，∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件，故选
3C.
【答案】C
1?6．已知f(x)满足f??x?＋2f(x)＝3x(x≠0)，则下列选项正确的是( ) A．函数f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B．函数f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C．函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 1?
【解析】已知f??x?＋2f(x)＝3x(x≠0)， 1?3则f(x)＋2f??x?＝x， 1解得f(x)＝2x－，
x1
f(－x)＝－2x＋＝－f(x)，
x故f(x)是奇函数，
1
易知y1＝2x，y2＝－在(0，＋∞)上是增函数，
x1
故f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函数．
x故选D. 【答案】D
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．) 7．函数f(x)＝4－x2＋
1
的定义域为____________． x－2
【解析】由4－x2≥0且x≠2，得{x|－2≤x<2}． 【答案】[－2，2) 8．已知函数
f(x)满足f(2x)＝2x－4，则函数f(x)＝
________________________________________________________________________.
tt
【解析】换元法，令2x＝t，则x＝，代入可得f(t)＝2×－4＝t－4，即f(x)＝x－4，故
22答案为x－4.
【答案】x－4
?x＋x＋1，x≥0，2
x9．已知函数f()＝?若f(m) ?2x＋1，x<0， __________． 【解析】函数f(x)图象如下图所示： 2 由图象可知函数f(x)连续且在R上单调递增， 2 所以f(m) () 即m2＋m－2<0，解得： m∈－2，1. 【答案】(－2，1) () 10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，??1??3??bx＋2其中a，b∈R.若f??2?＝f?2?，则3a＋2b＝________． ，0≤x≤1，??x＋1 【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数， b＋2 ∴f(1)＝f(－1)，即－a＋1＝①. 23??1?131 －＝－a＋1，f??＝f??， 又∵f?＝f?2??2??2??2?2b＋41 ∴－a＋1＝②. 23 联立①②，解得，a＝2，b＝－4， ∴3a＋2b＝3×2＋2×(－4)＝－2. 【答案】－2 三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(13分)已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)若f(1)＝2，求f(99)的值． 13 【解析】(1)由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝. f（x）13 用x＋2代替x得f(x＋4)＝＝f(x)， f（x＋2）故y＝f(x)为周期函数，且周期为4. 1313 (2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝. f（1）2a·2x＋a－2 12．(13分)设a是实数，f(x)＝. 2x＋1(1)证明：f(x)是增函数； (2)试确定a的值，使f(x)为奇函数． 【解析】(1)证明：设x1、x2∈R且x1＜x2， ?a－2??a－2?f(x1)－f(x2)＝??－?? ?2x1＋1??2x2＋1? ＝ ， （2x1＋1）（2x2＋1） 2（2x1－2x2） 又由y＝2x在R上为增函数，则2x1＞0，2x2＞0， 由x1＜x2，可得2x1－2x2＜0， 则f(x1)－f(x2)＜0， 故f(x)为增函数，与a的值无关， 即对于任意a，f(x)在R上为增函数． (2)若f(x)为奇函数，且其定义域为R， 必有f(－x)＝－f(x)， 2（2＋1）?a－2?即a－x＝－?，变形可得2a＝＝2， x?x2＋1－??2＋12＋1 2 解得a＝1， 即当a＝1时，f(x)为奇函数． 13．(14分)定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)且f(x)不恒为0. (1)求f(1)、f(－1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并加以证明； (3)若x≥0时，f(x)是增函数，求满足不等式f(x＋1)－f(2－x)≤0的x的集合． 【解析】(1)令x＝y＝1得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0. (2)令y＝－1，对任意x∈R得f(－x)＝f(－1)＋f(x)即f(－x)＝f(x)，而f(x)不恒为0， ∴f(x)是偶函数． (3)又f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)， 当x>0时，f(x)递增， 由f(x＋1)≤f(2－x)，得f(|x＋1|)≤f(|2－x|)， ∴|x＋1|≤|2－x|， x 1?? ∴x的取值范围是?x|x≤2?. ? ?
2020新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷2
