对一道中考填空题的解法探析
中考试卷中的一道填空题，看似简单，但却是简约而不简单，它可从不同角度思考, 添加不同的辅助线，从而使解法多姿多彩.
一、试题呈现
已知:如图1, AD. BE分别是MBC的中线和角平分线，4D丄BE,AD = BE = 6,
则AC的长等于 __________ .
此题是以三角形为背景，中线、角平分线为依托，综合考查了中线性质、角平分线性质、 等腰三角形等重要知识点，以及构造相似三角形、全等三角形、特殊四边形等解决问题的能 力，综合性较强.本文整理、归纳了儿种不同的解法，供大家参考.
二、解法探析
本题属于一道中档填空题，具有一定的难度，思维含量较高?根据题意，解答时可从中 点的角度入手，联想到中线倍长法、构造中位线等，由垂直可构造平行线或特殊四边形等, 从不同的角度思考、分析，可以探索出多种解题的思路，现列举如下.
1. 从添一条辅助线入手
思路1利用屮点的特殊条件，构造新三角形求得AC的长.
如图2,注意到点D是BC的中点，所以过点D作DGH BE交AC于G点.由题惫知, F是AD的
屮点，进而易知E、G是AC的三等分点，且DG = -BE = 3 ,所以
AG = yjAD + DG = 3A/5，所以
22=
= ?厉.当然，过点 D作 DG//AC 交 3￡于
2
G点（如图3）,也是一种通法，留给读者思考.
图2 图3
思路2利用内角平分线的性质，再运用面积算两次可求得AC的长.
如图4,注意到BE是角平分线，又BE丄AD,所以AB = BD = -BC.由内角平分线
A/7 A D 1 性质，可得——二——=-?由条件易得
AABE三ADBE（SAS）,所以
2
CE BC 2
STZS十9,所以进堆冷所以皿专又s十护加
3
进而求得EF=-.
3 R
由勾股定理可得=亠，所以AC = 3AE
2
2
说明 上述两种解题思路，都是根据条件中有些特殊的点（如中点）、有些特殊的位置（如 垂直）等进行添辅助线.思路1侧重于构造“A字型”的方法;思路2侧重于构造三角形全等及 面积相等的方法，然后通过线段间的数量关系求得答案.
2. 从添两条辅助线入手
思路3利用屮点的特殊条件，构造A或8字型可求得AC的长.
如图5,注意到点D是BC的中点，所以过点C作CG H BE交AD的延长线于G点.
3 9 由题意易得△ BDF = ACDG（AAS）,由思路2知，EF=—,所以CG = 3EF = -/ffi而求
2 2
得AC = yjAG2+CG2 =|V5.当然，过点C作CG IIAD交BE的延长线于G点（如图6）, 也是一种
常用的方法，留给读者思考.
说明 此解题思路关注到点D是BC的中点，构造三角形全等或屮位线，巧妙地得到 与AC相关的直角三角形求解.
图5 图6
思路4利用平行线截得的线段成比例、构造平行线可求得AC的长.
如图7,由于AD丄BE,所以过点B作BGH AD,交C4的延长线于点G.因为点D
是BC的中点.所以—-,所以BG = 12,EG = JBG? + BE，= 6亦.因为
BG CB 2 FA AF 1 3 /—
BD//AD ,所以 \\AEF - \\GEB f 得—-,所以 AE = ->J5 ,所以 EG GB 4 AC = AG = EG-EA = -45 ?
2
2
说明 此解题思路实际上是构造了“双A”型的相似三角形，即ZEFs AGEB和
ACAD - \\CGB,然后通过AF:GB = 1:4的桥梁加以转化，进而问题得以解决.当然，添
平行线的方法还有很多种，如过点A作AG//BE(如图8),有兴趣的读者不妨试试.
3. 从添三条辅助线入手
思路5利用中线倍长的方法，构造特殊四边形可求得AC的长.
如图9,由于AD丄BE,且BE是ZABC的角平分线，所以是屮线，因此延长BE,
图8
使 FG = BF ,连结 AG, DG .贝9 AAGF = ADBF(SAS),所以可得
1
AG = BD = — BUAG〃BC,所以 MEG s ACEB ■所以——
Ap 4/7 1
由思路2知, AE*所以心3任詁.
2
CE CB 2
思路6利用中线倍长的方法，构造特殊四边形可求得AC的长.
中考数学复习指导：对一道中考填空题的解法探析.doc
