函数的奇偶性
【知识要点】
1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么函数f(x)叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(?x)??f(x)，那么函数f(x)叫奇函数（odd function）.
2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.
3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别f(?x)与f(x)的关系；
（1）奇函数?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1(f(x)?0)； f(x)（2）偶函数?f??x??f?x??f??x??f?x??0?f??x??1 ?f?x??0?. f?x?4．函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域； （2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； （3）若奇函数f?x?在原点有意义，则f?0??0；
（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；
（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； （6）函数f?x?与函数
1有相同的奇偶性. f?x?5．奇偶性与单调性：
（1）奇函数在两个关于原点对称的区间??b,?a?,?a,b?上有相同的单调性； （2）偶函数在两个关于原点对称的区间??b,?a?,?a,b?上有相反的单调性.
【典例精讲】
类型一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： （1）f?x??x?2?2?x； （2）f?x??1?x2?x2?1；
1??1??； x?2?12?（3）f?x??ax?b?ax?b?a?b?0?； （4）f?x??x??x2?2x?3, x?0，????x?x?1,x?0，（5）f(x)??2 （6）f(x)??0, x?0，
???x2?2x?3,x?0.?x?x?1, x?0；?2
变式 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x； (2)f(x)=x； (3)f(x)=x+
45
11； (4)f(x)=. 22xx4x2
43 （5）f(x)?x?2x （6）f(x)?2x? （7）y?ax?
xb(k?0) (a?0,b?0) （8）y?2xx?k
例2 已知f?x?是R上的奇函数，且当x?0时，f?x??x3?2x2?1，求f?x?的表达式。
类型二 函数奇偶性的简单应用
例3 （1）设函数f(x)=
(x?1)(x?a)为奇函数，求实数a的值；
x（2）设函数y=f(x)是奇函数，若f(－2)+f(－1)－3=f(1)+f(2)+3，求f(1)+f(2)的值； （3）已知f?x?是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)?g(x)?
2变式 （1）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x?x，则f(1)? .
1,求f?x?与g(x)的解析式。 x?1（2）已知f(x)为奇函数，g(x)?f(x)?9,g(?2)?3,则f(2)? ．
（3）已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1，若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? 。
2类型三 函数性质的综合应用
例4 (1)奇函数f(x)在[?b, ?a]上为增函数，试分析它在(a, b]上的单调性(a?0)。
(2)已知奇函数f(x)在单调区间??7,?3?上有最大值f(?5)?2，则f(x)在?3,7?上的最 值是 。
(3)已知偶函数f(x)在单调区间??7,?3?上有最大值f(?5)?2，则f(x)在?3,7?上的最 值是 。
例5 定义在R上的函数f?x?满足f?x?y??f?x??f?y?,且对任意x,y?R,都成立。 (1)证明:函数f?x?是奇函数；
?(2)如果x?R,f(x)?0,并且f(1)??1,试求f(x)在区间??2,6?上的最值。 2
【课堂练习】
1. 函数y?x|x|?px，x?R是（ ）
D．与p有关
A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数
2. 若奇函数f(x)在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[?7,?3]上是（ ） A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1 C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1
3．若函数f?x???x?1??x?a?为偶函数，则a? ( )
（A）?2 （B）?1 （C） 1 （D）2
4. 已知f?x?1?是偶函数,则函数y?f?2x?的图象的对称轴是( )
A.x??1 B.x?1 C. x??11 D. x?
225. 设奇函数f(x)的定义域为[－5, 5], 若当x∈[0, 5]时, f(x)的图象如图所示, 则不等式f(x)＜0的解是 .
6. 已知函数f(x)?ax?bx?cx?1，f(2)??1，求f(?2)。
【思维拓展】
1.定义在??1,1?上的函数f?x?满足f?x?y??f?x??f?y?,且对任意x,y???1,1?,当
53x?y?0时,都有
f?x??f?y??0。
x?y(1)证明:函数f?x?是奇函数；
(2)用函数的单调性定义判断并证明函数f?x?在??1,1?上的单调性。
函数的奇偶性(讲义)
