2024届新高考步步高大二轮数学专题复习：第六周

第六周

周一

11

1．(2024·鹰潭模拟)Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2.

22(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝2an－5an，求数列{bn}中最小的项． 解 (1)对任意的n∈N*， 11

由an－Sn＝n－n2，

22

11

得an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，

22两式相减得an＝n，

因此数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)得bn＝2n－5n，则bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5. 当n≤2时，bn＋1－bn<0，即bn＋1b2>b3.

当n≥3时，bn＋1－bn>0，即bn＋1>bn， ∴b3

∴数列{bn}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.

周二

1

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝ccos B＋b.

2(1)若a＋b＝7，△ABC的面积等于33，求c； (2)若c＝4，求△ABC周长的最大值． 1

解 (1)∵a＝ccos B＋b，

21

∴sin A＝sin Ccos B＋sin B，

21

∴sin(B＋C)＝sin Ccos B＋sin B，

2

1

即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Ccos B＋sin B，

2

1

∴sin Bcos C＝sin B，

2

1π

∵sin B≠0，∴cos C＝，C＝，

23∵△ABC的面积等于33， 1

∴absin C＝33，∴ab＝12. 2

∵a＋b＝7，∴a2＋b2＋2ab＝49，a2＋b2＝25， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝25－12＝13， ∴c＝13.

π2π

(2)方法一 ∵C＝，∴0

33∵c＝4，∴

c8＝， sin C38

sin A， 3

由正弦定理可得a＝b＝＝

8813sin(A＋C)＝?sin A＋cos A?

2?33?2

4

sin A＋4cos A， 3

84

sin A＋sin A＋4cos A 33

∴a＋b＝

π

A＋?， ＝43sin A＋4cos A＝8sin??6?2πππ5π

∵0

3666π

A＋?≤8， ∴4<8sin??6?

∴△ABC周长的最大值为8＋4＝12. π

方法二 ∵C＝，c＝4，

3

∴由余弦定理可得16＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab. ?a＋b?2

由基本不等式可得16≥，

4∴a＋b≤8，当且仅当a＝b时等号成立，

∴a＋b的最大值是8， ∴△ABC周长的最大值为12.

周三

3.如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．

(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；

(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为确定点G的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明 ∵AB＝BC，E为AC的中点， ∴BE⊥AC，

又PA⊥平面ABC，BE?平面ABC， ∴PA⊥BE，

∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC， ∴BE⊥平面PAC，

∵BE?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.

(2)解 由(1)知，PA⊥BE，PA⊥AC，点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA， ∴EF⊥BE，EF⊥AC，

→→→

又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直，以点E为原点，分别以EB，EC，EF方向为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

15

？若存在，5

则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，B(23，0,0)，C(0,2,0)， →→

设BG＝λBP＝(－23λ，－2λ，2λ)，λ∈[0,1]，