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等腰直角三角形中的常用模型
模型一:一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点
(1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边,必定可以构造一对全等的直角三角
形:
DEAAA ED
BBBCCCE
(1)(2)(3)
例１.如图：RtΔＡBC中,∠BAC=90o,AB＝AC，点D是BC上任意一点，过B作ＢE
⊥ＡＤ于点E，过C作CＦ⊥AＤ于点F。 （1)求证：BE－ＣＦ=EF；
(2)若D在BC的延长线上(如图（2）)，（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出
新的结论并证明。
EAA
E F BCBCD(2)(1)F
１．如图1,等腰Rt△ABC中，AＢ=CB,∠ABC=90o,点P在线段BC上(不与B、C重合）,以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E,连CQ交ＡB于M。 (１)求证:M为BＥ的中点
(２）若PＣ＝２ＰB,求
DPC的值 MB
（２）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边,必定可以构造一对全等的直角
F三角形:
ADA
F ED
BBCC
(1)(2)E
3、如图:RtΔＡBC中,∠BAC=90o,ＡＢ=ＡＣ，点D是ＢC上任意一点,过B作BＥ⊥AＤ于点Ｅ，交ＡC于点Ｇ,过C作CF⊥AC交AＤ的延长线与于点Ｆ。 (1)求证:BG=AF；
（2)若D在BC的延长线上（如图（2）），（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
G EAA
G
EF
BCB DDC(2)(1)
F
变式１：如图,在Rt△ＡＢC中，∠ＡCＢ＝45o，∠BAC＝90o,AB=AC,点Ｄ是AＢ的
中点，AＦ⊥ＣＤ于H交BC于Ｆ，BＥ∥AC交AF的延长线于E，求证:BC垂直且平分ＤE．
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变式2:等腰Ｒt△ABＣ中,AC=ＡＢ，∠BＡC＝90°，点D是ＡＣ的中点,AF⊥BD于
点E,交ＢＣ于点F,连接ＤF,求证:∠1=∠2。
变式3:等腰Ｒｔ△AＢC中，AC=AB,∠BAC=90°,点D、Ｅ是AC上两点且ＡD=CE，AF⊥BD于点G,交BC于点F连接DF,求证:∠１=∠２。
例1：等腰Ｒt△ABC中,ＡC=AB,∠BAC=90°，Ｅ是AC上一点,过C作CD⊥BE于
D，连接ＡD，求证：∠ADB=4５°。
变式1:等腰Ｒt△ABC中，AC=AB，∠BAＣ=9０°，Ｅ是AC上一点,点Ｄ为ＢE延
长线上一点，且∠ADC＝135°求证：ＢD⊥DC。
模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形 EAA
D
FBCEBFD(2)C
变式2:等腰Rt△AＢC中，AＣ=AＢ，∠ＢAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作ＣD⊥ＢE于D，ＤM⊥AB交BＡ的延长线于点Ｍ,
BMAM（1）求AB?BC的值；（2）求BC?AB的值。
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(1)--
模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
使E与Ｃ重合，连接ＡE、ＡF，则△AＥB与△AFC全等（关键是利用平行证明∠ＡBＥ=∠ACF）
BE(1)两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形: 例．如图:两个直角三角形AＢＣ、ADＥ的顶点A重合,P是线段BD的中点,连PＣ、 PE。 EAAADE （1)如图1，若∠BAC=∠DＡE=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段ＰC、P Ｅ的关系是 ;
DD BCBBCC(3)(1)(2) （2)如图2、3,将⊿BＡC绕A旋转α度,(1)中的结论是否仍然成立?任意选择一个证明例1、如图1,△ABC、△BEＦ都是等腰直角三角形，∠ＡBC=∠BEＦ=90o,连接ＡF、你的结论。
ＣF，M是ＡF的中点,连ME，将△BEＦ绕点B旋转。猜想CＦ与EM的数
EEE量关系并证明;
B BBC PBEPP CADA图3DAD C图2 图1FMA C三【巩固练习】
图（1） 1.已知:Ｒt⊿ABC中，AB=AC，∠BＡC=９0°,若O是BC的中点，以O为顶点作∠(2)两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一MON,交AＢ、AC于点M、N。 对全等三角形: (1）若∠MＯN=90°（如图1）,求证：OM=ON；
AAA D(２)若∠MON=4５°（如图2)，求证：①AM+MＮ＝CN;
F DEF ADEFA CCCBBN(2)M(1)(3)E MN
如图,△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠ＢAC=∠BED=9０o。把DE平移到CF,
BC OCBO图1 图2--
等腰直角三角形中的常用模型
