考虑到所有这些策略都是互斥的（也就是说，你只能选择一种策略），所以一个主件和它的附件集合实际上对应于6中的一个物品组，每个选择了主件又选择了若干个附件的策略对应于这个物品组中的一个物品，其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。但仅仅是这一步转化并不能给出一个好的算法，因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。
再考虑对每组内的物品应用2.3中的优化。我们可以想到，对于第k个物品组中的物品，所有费用相同的物品只留一个价值最大的，不影响结果。所以，可以对主件k的“附件集合”先进行一次01背包，得到费用依次为0...V?Ck所有这些值时相应的最大价值Fk[0...V?Ck]。那么，这个主件及它的附件集合相当于V?Ck+1个物品的物品组，其中费用为v的物品的价值为Fk[v?Ck]+Wk，v的取值范围是Ck≤v≤V。
也就是说，原来指数级的策略中，有很多策略都是冗余的，通过一次01背包后，将主件k及其附件转化为V?Ck+1个物品的物品组，就可以直接应用6的算法解决问题了。
7.3较一般的问题
更一般的问题是：依赖关系以图论中“森林”1的形式给出。也就是说，主件的附件仍然可以具有自己的附件集合。限制只是每个物品最多只依赖于一个物品（只有一个主件）且不出现循环依赖。
解决这个问题仍然可以用将每个主件及其附件集合转化为物品组的方式。唯一不同的是，由于附件可能还有附件，就不能将每个附件都看作一个一般的01背包中的物品了。若这个附件也有附件集合，则它必定要被先转化为物品组，然后用分组的背包问题解出主件及其附件集合所对应的附件组中各个费用的附件所对应的价值。
事实上，这是一种树形动态规划，其特点是，在用动态规划求每个父节点的属性之前，需要对它的各个儿子的属性进行一次动态规划式的求值。这已经触及到了“泛化物品”的思想。看完8后，你会发现这个“依赖关系树”每一个子树都等价于一件泛化物品，求某节点为根的子树对应的泛化物品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。
7.4小结
NOIP2006的那道背包问题我做得很失败，写了上百行的代码，却一分未得。后来我通过思考发现通过引入“物品组”和“依赖”的概念可以加深对这题的理解，还可以解决它的推广问题。用物品组的思想考虑那题中极其特殊的依赖关系：物品不能既作主件又作附件，每个主件最多有两个附件，可以发现一个主件和它的两个附件等价于一个由四个物品组成的物品组，这便揭示了问题的某种本质。
后来，我在《背包问题九讲》第一版中总结此事时说：“失败不是什么丢人的事情，从失败中全无收获才是。”NOIP2007我得了满分。
8
8.1
泛化物品
定义
考虑这样一种物品，它并没有固定的费用和价值，而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。
1即多叉树的集合
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更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中，泛化物品是一个定义域为0...V中的整数的函数h，当分配给它的费用为v时，能得到的价值就是h(v)。
这个定义有一点点抽象，另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0...V]，给它费用v，可得到价值h[v]。
一个费用为c价值为w的物品，如果它是01背包中的物品，那么把它看成泛化物品，它就是除了h(c)=w外，其它函数值都为0的一个函数。如果它是完全背包中的物品，那么它可以看成这样一个函数，仅当v被c整除时有h(v)=w·vc，其它函数值均为0。如果它是多重背包中重复次数最多为m的物品，那么v它对应的泛化物品的函数有h(v)=w·vc仅当v被c整除且c≤n，其它情况函数值均为0。
一个物品组可以看作一个泛化物品h。对于一个0...V中的v，若物品组中不存在费用为v的物品，则h(v)=0，否则h(v)取值为所有费用为v的物品的最大价值。6中每个主件及其附件集合等价于一个物品组，自然也可看作一个泛化物品。
8.2泛化物品的和
如果给定了两个泛化物品h和l，要用一定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值，这个问题怎么求呢？事实上，对于一个给定的费用v，只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的，对于0...V中的每一个整数v，可以求得费用v分配到h和l中的最大价值f(v)。也即
f(v)=max{h(k)+l(v?k)|0≤k≤v}
可以看到，这里的f是一个由泛化物品h和l决定的定义域为0...V的函数，也就是说，f是一个由泛化物品h和l决定的泛化物品。
我们将f定义为泛化物品h和l的和：h、l都是泛化物品，若函数f满足以上关系式，则称f是h与l的和。泛化物品和运算的时间复杂度取决于背包的容量，是O(V2)。
由泛化物品的定义可知：在一个背包问题中，若将两个泛化物品代以它们的和，不影响问题的答案。事实上，对于其中的物品都是泛化物品的背包问题，求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。若问题的和为s，则答案就是s(0...V)中的最大值。
8.3背包问题的泛化物品
一个背包问题中，可能会给出很多条件，包括每种物品的费用、价值等属性，物品之间的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说，给定了所有条件以后，就可以对每个非负整数v求得：若背包容量为v，将物品装入背包可得到的最大价值是多少，这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。这个泛化物品——或者说问题所对应的一个定义域为非负整数的函数——包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。一般而言，求得这个泛化物品的一个子定义域（例如0...V）的值之后，就可以根据这个函数的取值得到背包问题的最终答案。
综上所述，一般而言，求解背包问题，即求解这个问题所对应的一个函数，即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种常用方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。
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8.4小结
本讲是我在学习函数式编程的Scheme语言时，用函数编程的眼光审视各类背包问题得出的理论。
我想说：“思考”是一个程序员最重要的品质。简单的问题，深入思考以后，也能发现更多。
9背包问题问法的变化
以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。
例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（F数组）之后得到。
还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。
下面说一些变化更大的问法。
9.1输出方案
一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。
还是以01背包为例，方程为F[i,v]=max{F[i?1,v],F[i?1,v?Ci]+Wi}。再用一个数组G[i,v]，设G[i,v]=0表示推出F[i,v]的值时是采用了方程的前一项（也即F[i,v]=F[i?1,v]），G[i,v]=1表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为F[N,V]）：
i:=Nv:=Vwhilei>0ifG[i,v]=0
print未选第i项物品elseifG[i,v]=1
print选了第i项物品v:=v?Cii:=i?1
另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据F[i,v]的值实时地求出来。也即，不须纪录G数组，将上述代码中的G[i,v]=0改成F[i,v]=F[i?1,v]，G[i,v]=1改成F[i,v]=F[i?1][v?Ci]+Wi也可。
9.2输出字典序最小的最优方案
这里“字典序最小”的意思是1...N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出01背包最小字典序的方案为例。
一般而言，求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。
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首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品1的最优方案，那么答案一定包含物品1，原问题转化为一个背包容量为V?C1，物品为2...N的子问题。反之，如果答案不包含物品1，则转化成背包容量仍为V，物品为2...N的子问题。
不管答案怎样，子问题的物品都是以i...N而非前所述的1...i的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要改一下。
但也许更简易的方法是，先把物品编号做x:=N+1?x的变换，在输出方案时再变换回来。在做完物品编号的变换后，可以按照前面经典的转移方程来求值。只是在输出方案时要注意，如果F[i,v]=F[i?1,v]和F[i,v]=F[i?1][v?Ci]+Wi都成立，应该按照后者来输出方案，即选择了物品i，输出其原来的编号N?1?i。
9.3求方案总数
对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。
对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是完全背包中的物品，转移方程即为
F[i,v]=sumF[i?1,v],F[i,v?Ci]
初始条件是F[0,0]=1。
事实上，这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。
9.4最优方案的总数
这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。以01背包为例。
结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路，最优方案的总数可以这样求：F[i,v]代表该状态的最大价值，G[i,v]表示这个子问题的最优方案的总数，则在求F[i,v]的同时求G[i,v]的伪代码如下：
G[0,0]=1fori=1toNforv=0toV
F[i,v]:=max{F[i?1,v],F[i?1,v?Ci]+Wi}G[i,v]:=0
ifF[i,v]=F[i?1,v]G[i,v]+=G[i?1][v]
ifF[i,v]=F[i?1,v?Ci]+WiG[i,v]+=G[i?1][v?Ci]如果你是第一次看到这样的问题，请仔细体会上面的伪代码。
9.5求次优解、第K优解
对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。
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其基本思想是，将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。
这里仍然以01背包为例讲解一下。
首先看01背包求最优解的状态转移方程：F[i,v]=max{F[i?1,v],F[i?1,v?Ci]+Wi}。如果要求第K优解，那么状态F[i,v]就应该是一个大小为K的队列F[i,v,1...K]。其中F[i,v,k]表示前i个物品中，背包大小为v时，第k优解的值。这里也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维来表示结果的优先次序。显然f[i,v,1...K]这K个数是由大到小排列的，所以它可看作是一个有序队列。
然后原方程就可以解释为：F[i,v]这个有序队列是由F[i?1,v]和F[i?1,v?Ci]+Wi这两个有序队列合并得到的。前者F[i?1][V]即F[i?1,v,1...K]，后者F[i?1,v?Ci]+Wi则理解为在F[i?1,v?Ci,1...K]的每个数上加上Wi后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i,v,1...K]中的复杂度是O(K)。最后的第K优解的答案是F[N,V,K]。总的时间复杂度是O(VNK)。
为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组，并在这个数组中有序地保存该状态可取到的前K个最优值。那么，对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。
另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，是要求将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。
9.6小结
显然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域（例如数论、图论）结合起来的问题，在这篇论背包问题的专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程，遇到其它的变形问题，应该也不难想出算法。
触类旁通、举一反三，应该也是一个程序员应有的品质吧。
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背包九讲 2.0
