背包问题九讲 2.0 alpha1
崔添翼 (Tianyi Cui,a.k.a.dd_engi)
September 15,2011
本文题为《背包问题九讲》，从属于《动态规划的思考艺术》系列。
这系列文章的第一版于2007年下半年使用EmacsMuse制作，以HTML格式发布到网上，转载众多，有一定影响力。
A2011年9月，本系列文章由原作者用LTEX重新制作并全面修订，您现在看
到的是2.0 alpha1版本，修订历史及最新版本请访问https://github.com/tianyicui/pack查阅。
本文版权归原作者所有，采用CCBY-NC-SA协议发布。
Contents
1
01背包问题
1.1题目........1.2基本思路......1.3优化空间复杂度.1.4初始化的细节问题1.5一个常数优化...1.6小结........
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完全背包问题
2.1题目...........2.2基本思路........2.3一个简单有效的优化.2.4转化为01背包问题求解2.5O(VN)的算法.....2.6小结...........多重背包问题
3.1题目........3.2基本算法......3.3转化为01背包问题3.4O(VN)的算法...3.5小结........
...............
3
4
混合三种背包问题
4.1问题............4.201背包与完全背包的混合4.3再加上多重背包.....4.4小结............
1
5
二维费用的背包问题
5.1问题...........5.2算法...........5.3物品总个数的限制...5.4复整数域上的背包问题5.5小结...........
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999999101010101010101111111112121313131314141415
6
分组的背包问题
6.1问题....................................6.2算法....................................6.3小结....................................有依赖的背包问题7.1简化的问题.7.2算法.....7.3较一般的问题7.4小结.....
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7
8
泛化物品
8.1定义.............8.2泛化物品的和........8.3背包问题的泛化物品...8.4小结.............
9
背包问题问法的变化
9.1输出方案............9.2输出字典序最小的最优方案9.3求方案总数..........9.4最优方案的总数.......9.5求次优解、第K优解....9.6小结..............
1
1.1
01背包问题
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。放入第i件物品耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
1.2基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即F[i,v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
F[i,v]=max{F[i?1,v],F[i?1,v?Ci]+Wi}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包
2
中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只和前i?1件物品相关的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i?1件物品放入容量为v的背包中”，价值为F[i?1,v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i?1件物品放入剩下的容量为v?Ci的背包中”，此时能获得的最大价值就是F[i?1,v?Ci]再加上通过放入第i件物品获得的价值Wi。
伪代码如下：
F[0,0..V]=0fori=1toNforv=CitoV
F[i,v]=max{F[i?1,v],F[i?1,v?Ci]+Wi}
1.3优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组F[i,0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组F[0..V]，能不能保证第i次循环结束后F[v]中表示的就是我们定义的状态F[i,v]呢？F[i,v]是由F[i?1,v]和F[i?1,v?Ci]两个子问题递推而来，能否保证在推F[i,v]时（也即在第i次主循环中推F[v]时）能够取用F[i?1,v]和F[i?1,v?Ci]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的递减顺序计算F[v]，这样才能保证推F[v]时F[v?Ci]保存的是状态F[i?1,v?Ci]的值。伪代码如下：
F[0..V]=0fori=1toNforv=VtoCi
F[v]=max{F[v],F[v?Ci]+Wi}
其中的F[v]=max{F[v],F[v?Ci]+Wi}一句，恰就对应于我们原来的转移方程，因为现在的F[v?Ci]就相当于原来的F[i?1,v?Ci]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了F[i,v]由F[i,v?Ci]推导得到，与本题意不符。
事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。
defZeroOnePack(F,C,W)forv=VtoC
F[v]=max(F[v],f[v?C]+W)
有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：
fori=1toN
ZeroOnePack(F,Ci,Wi)
1.4初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
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如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了F[0]为0，其它F[1..V]均设为?∞，这样就可以保证最终得到的F[V]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将F[0..V]全部设为0。
这是为什么呢？可以这样理解：初始化的F数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可以在什么也不装且价值为0的情况下被“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
1.5一个常数优化
上面伪代码中的fori=1toNforv=VtoCi
中第二重循环的下限可以改进。它可以被优化为
fori=1toN
forv=Vtomax(V?ΣNiWi,Ci)
这个优化之所以成立的原因请读者自己思考。（提示：使用二维的转移方程思
考较易。）
1.6小结
01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想。另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及空间复杂度怎样被优化。
2
2.1
完全背包问题
题目
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。放入第i种物品的耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大。
2.2基本思路
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……直至取?V/Ci?件等很多种。
4
如果仍然按照解01背包时的思路，令F[i,v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：
F[i,v]=max{F[i?1,v?kCi]+kWi|0≤kCi≤v}
这跟01背包问题一样有O(VN)个状态需要求解，但求解每个状态的时
v
间已经不是常数了，求解状态F[i,v]的时间是O(C)，总的复杂度可以认为i
V
是O(NVΣC)，是比较大的。i
将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是要试图改进这个复杂度。
2.3一个简单有效的优化
完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足Ci≤Cj且Wi≥Wj，则将可以将物品j直接去掉，不用考虑。
这个优化的正确性是显然的：任何情况下都可将价值小耗费高的j换成物美价廉的i，得到的方案至少不会更差。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。
这个优化可以简单的O(N2)地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你能独立思考写出伪代码或程序。
2.4转化为01背包问题求解
01背包问题是最基本的背包问题，我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。??
V
最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选C件，于是可以把第i种物品转i??V
化为C件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样的做法i完全没有改进时间复杂度，但这种方法也指明了将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件只能选0件或1件的01背包中的物品。
更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为Ci2k、价值为Wi2k的若干件物品，其中k取遍满足Ci2k≤V的非负整数。
这是二进制的思想。因为，不管最优策略选几件第i种物品，其件数写成二进制后，总可以表示成若干个2k件物品的和。这样一来就把每种物品拆
V
成O(logC)件物品，是一个很大的改进。i
2.5O(VN)的算法
这个算法使用一维数组，先看伪代码：
F[0..V]=0
fori=1toNforv=CitoV
F[v]=max(F[v],F[v?Ci]+Wi)
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背包九讲 2.0
