直线的一般式方程
[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.
知识点 直线的一般式方程
1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.
AC2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－B，在y轴上的截距为－B；当B＝0时，CCC在x轴上的截距为－A；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－A，－B. 3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程.
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (3)x的系数一般不为分数和负数.
(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么 (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗
答 (1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.
故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.
(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，
直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化
4
例1 (1)下列直线中，斜率为－3，且不经过第一象限的是( ) ＋4y＋7＝0 ＋3y－42＝0
＋3y＋7＝0 ＋4y－42＝0
(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( ) B.－5 D.－33 答案 (1)B (2)D
4
解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－3的有：B、C两项. 4
又y＝－3x＋14过点(0,14)即直线过第一象限， 所以只有B项正确. (2)令y＝0则x＝－33.
跟踪训练1 一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.
xy
解 设所求直线方程为a＋b＝1， 22
∵点A(－2,2)在直线上，∴－a＋b＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， 1∴2|a|·|b|＝1.②
???a－b＝1，?a－b＝－1，
由①②可得?或?
??ab＝2，ab＝－2.??
???a＝2，?a＝－1，
?解得或?第二个方程组无解. ?b＝1，???b＝－2.
xyxy故所求直线方程为2＋1＝1或＋＝1，
－1－2即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
题型二 直线方程的应用
例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直.
3
解 方法一 l的方程可化为y＝－4x＋3， 3
∴l的斜率为－4.
3
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－4. 又∵l′过点(－1,3)，
3
由点斜式知方程为y－3＝－4(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0.
4
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为3，又l′过点(－1,3)， 4
由点斜式可得方程为y－3＝3(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
跟踪训练2 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0. (1)平行；(2)垂直.
解 当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；
－1＋a
当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝2，b1＝2； 11
直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝a，b2＝－a. (1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2， 1－1＋a1得a＝2，a≠－2， 解得a＝－1或a＝2.
所以当a＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1， 1－1＋a1即a·2＝－1，解得a＝3. 1
所以当a＝3时，两直线垂直.
题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围
例3 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______. (2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1. (1)答案 m≠－3
解析 若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
2??m＋5m＋6＝0，
解方程组?2得m＝－3，
??m＋3m＝0，
所以m≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1， 2m2＋m－3
所以－＝1，
m2－m
2??m－m≠0，
所以?2 2－m，?2m＋m－3＝－m?
??m≠0且m≠1，解得?所以m＝－1.
?m＝－1或m＝1.?
②因为已知直线在x轴上的截距为1， 4m－1令y＝0得x＝2，
2m＋m－34m－1
所以2＝1，
2m＋m－3
?2m2＋m－3≠0，?所以? 2＋m－3，?4m－1＝2m?
?解得?1
m＝－?2或m＝2.
1
所以m＝－2或m＝2.
3
m≠1且m≠－2，
跟踪训练3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 3?1?
(1)证明 直线方程变形为y－5＝ax－5，
??
13??它表示经过点A5，5，斜率为a的直线. ??
?13?∵点A5，5在第一象限，
??
∴直线l必过第一象限.
3
5－0
(2)解 如图所示，直线OA的斜率k＝1＝3.
5－0∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a≥3. ∴a的取值范围为[3，＋∞).
一般式求斜率考虑不全致误
例4 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－(2m－6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m的值.
分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.
?解 由题意，得??－m2－2m－32m2＋m－1＝1，①?
?2m2＋m－1≠0. ②由①，得m＝－1或m＝4
3.
当m＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去； 当m＝4
3时，②式成立，符合题意. 故m＝4
3.
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( ) ≠0 ≠0 ·B≠0 ＋B2≠0 2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) －2y－1＝0 －2y＋1＝0 ＋y－2＝0
＋2y－1＝0 4.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于(A.－1 D.－12
) 5.已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.
一、选择题
1.直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是( ) ° ° D.－1
2.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( ) A.－2 C.－3
3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则( ) ＝0，B>0 >0，B>0，C＝0 <0，C＝0
>0，C＝0
4.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于( ) A.－3 D.－1
3 5.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点( ) A.(3,2) B.(－3,2) C.(－3，－2) D.(3，－2)
6.若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是( ) ≠±1 ≠1，a≠2 ≠－1
≠±1，a≠2
7.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()
二、填空题
8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______. 9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______. 10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________. 11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________. 三、解答题
12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值. (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直
当堂检测答案
1.答案 D
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 2.答案 C
ac
解析 由ax＋by＝c，得y＝－bx＋b， a
∵ab<0，∴直线的斜率k＝－b>0，
c
直线在y轴上的截距b<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限. 3.答案 A
11
解析 由题意，得所求直线斜率为2，且过点(1,0).故所求直线方程为y＝2(x－1)，即x－2y－1＝0. 4.答案 B
1?2?
解析 由两直线垂直，得2×－m＝－1，解得m＝1.
??5.答案 －3或1
a1－2
解析 两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，所以3＝≠，解得a＝－3
a＋21或a＝1.
课时精练答案
一、选择题 1.答案 B
解析 直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B. 2.答案 D
m2－4≠0，且
2m2－5m＋2
＝1，
m2－4
解析 由已知得
解得：m＝3. 3.答案 D
解析 通过直线的斜率和截距进行判断. 4.答案 D
解析 由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay1
＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－3. 5.答案 A
解析 由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3).所以直线必过点(3,2). 6.答案 A
解析 因为直线x＋ay＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x＋y＝0，x－y＝0两直线平行就能构成三角形.所以a≠±1. 7.答案 C
解析 将l1与l2的方程化为斜截式得： y＝ax＋b，y＝bx＋a，
根据斜率和截距的符号可得选C. 二、填空题 3
8.答案 5
3
解析 由两直线垂直的条件，得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝5. 9.答案 2
解析 线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2. 1
10.答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)
解析 当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求； a
当a≠－1时，直线l的斜率为－，
a＋1
aa
只要－>1或者－<0即可，
a＋1a＋11
解得－1
(－∞，－2)∪(0，＋∞). 11.答案 2x＋3y＋4＝0
?2a1＋3b1＋4＝0，?
解析 由条件知?易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0
?2a＋3b＋4＝0，?22
上，即2x＋3y＋4＝0为所求.
三、解答题
12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为0，当然相等，所以a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当a≠2时，截距存在且均不为0， a－2
所以＝a－2，即a＋1＝1.
a＋1所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
???－a＋1＞0，?－a＋1＝0，?所以或? ?a－2≤0???a－2≤0，
所以a≤－1.
综上，a的取值范围是a≤－1.
13.解 方法一 (1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行. 2m＋14
②当m≠0时，l1∥l2，需m＝3≠.
－2解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3. (2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直. 3
②若2a＋3＝0，即a＝－2时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直. a＋2a－1
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
1－a2a＋3当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， a＋2a－1
即(－)·(－)＝－1，
1－a2a＋3∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 方法二 (1)令2×3＝m(m＋1)， 解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. ∴m的值为2或－3. (2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意. 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
直线的一般式方程(附答案)
