课程编号: 07000203
北京理工大学2007-2008学年第二学期
2005级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）
1．(20分)某化工厂有三种资源A、B、C，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为x1,x2,x3,其数学模型为：
maxz?3x1?2x2?5x3?x1?2x2?x3?430??3x1?2x3?460s.t??x1?4x2?420??x1,x2,x3?0(A资源限制)(B资源限制) (C资源限制)请回答如下问题：
（1）给出最优生产方案；
（2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ （3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为：
222x1?2x2?3x3?800问最优解有何变化？
TT2．(12分)用Newton法求解minf(x)?4x1?x2?2x1x2，初始点取为x0?(1,1)，迭代一步。
3．(10分)用FR共轭梯度法求解三个变量的函数f(x)的极小值，第一次迭代的搜索方向为p0?(1,?1,2)，沿p0做精确线搜索，得x1?(x1,x2,x3)， 设
111T?f(x1)??2,1?x1?f(x1)??2，求从x1出发的搜索方向p1。 1?x2skykTskykTTskskT4．(15分) 给定下面的BFGS拟Newton矩阵修正公式：Hk?1?(I?T)Hk(I?T)?T，
ykskykskyksk其中sk?xk?1?xk,yk?gk?1?gk
用对应的拟Newton法求解：minf(x)?x1?2x1x2?2x2?4x1，初始点取为x0?(0,0)，H0?I。 5．(15分)写出问题
取得最优解的Kuhn-Tucker（K－T）必要条件，并通过K－T条件求出问题K－T点及相应Lagrange乘子。 6(12分)．求约束问题
在x1?(0,0)及x2?(1,0)处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来 7（8分）考察优化问题
TT22Tminf(x)，
s.t.x?D设D为凸集，f(x)为D上凸函数，证明：f(x)在D上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。
1TT8（8分）设minf(x)?xAx?bx?c，其中A为对称正定矩阵，x*为f(x)的极小值点，又设x0(?x*)可表示为
2x0?x*??p，其中??R1，p是A对应于特征值?的特征向量，证明：若从x0出发，沿最速下降方向做精确一维搜索，
则一步达到极小值点。
课程编号:07000203 北京理工大学1．(15分) 用单纯形法求解线性规划问题 2．(10分)写出线性规划问题
的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。
3．(15分)考虑用最速下降法迭代一步minf(x)?x1?2x2， 初始点取为x0?(?1,1)。（1）采用精确一维搜索；（2）采用Wolfe条件进行不精确一维搜索，其中?22T2008-2009学年第一学期
2006级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）
?0.1,??0.9。
22?1??21????，初始矩阵H0???。 ??1??11?5．(15分)证明集合S?{x|x1?2x2?4,2x1?x2?6}是凸集，并计算原点(0,0)到集合S的最短距离。
4．(15分)用DFP拟牛顿法求解minf(x)?x1?2x2 初始点取为x06．(15分?) 考虑问题
（1）用数学表达式写出在点(,)T1533T
处的下降可行方向集。
（2）假设当前点在(0,0)处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。 7（7分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。
?a11x1?a12x2?La1nxn?b1??a21x1?a22x2?La2nxn?b2?8（8分）已知线性不等式组?.............................................其中b1,b2L,bm?0，给出一种判断该不等式组是否相容（即
?ax?ax?Lax?bm22mnnm?m11??x1,x2L,xn?0是否有解）的方法并说明理由。
课程编号:07000203 北京理工大学
2009-2010学年第一学期
2007级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）
1．（8分）将优化问题
化为标准形式的线性规划问题。
2．(10分) 给出一个判断任一线性不等式组是否相容（即是否有解）的一般条件，并利用其判断以下不等式组是否相容。 3．(12分)对于下面的线性规划
（1）利用对偶单纯形法求解；（2）写出其对偶线性规划问题并利用对偶理论求出对偶问题的最优解。 4．(10分)考虑用最速下降法迭代一步minf(x)?x1?2x2?2x1x2，初始点为x0?(?1,1)。 5．(15分)用FR共轭梯度法求解min6．(10分?) 考虑问题
22Tf(x)?x12?T1212x2?x3 初始点取为x0??1,1,1?。 222minf(x)?(x1?1)2?x2s.t.x1?x?022
写出问题取得最优解的Kuhn-Tucker（K－T）必要条件，并通过K－T条件求出问题K－T点及相应Lagrange乘子。
22minf(x)?x1?x2?2x1?4x27．(15分?) 用简约梯度法求解问题
s.t.2x1?x2?1,x1?x2?2,x1?0,x2?0.，初始点取为(0,2)。
T8（10分）基于单纯形算法，试给出一个判定线性规划问题具有唯一最优解的条件，并且举例说明之。 9(10分)．考虑优化问题
minf(x)s..tAx?b,A?Rm?n,x?Rn，设xk为问题可行域中任一点，在xk处前q个约束为有效约束，记为
TT?1Aqxk?bq，其中Aq为行满秩矩阵，令PPq?I?Aq(AqAq)Aq，证明：（1）q为投影阵。
（2）若pk??Pq?f(xk)?0，则为问题的下降可行方向。 课程编号:07000203 北京理工大学2010-20111(15分)求解线性规划
2．(12分)给定一个线性规划问题
学年第一学期
2008级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）
?57?（1）写出其对偶规划。（2）假设已知该对偶规划的最优解为?,?，试求出原始问题的最优解。
?33?2223．(15分)给定Rosenbrock函数f(x)?100(x2?x1)?(1?x1)(1) 求出f(x)的驻点，并判断驻点的最优性。
(2) 求出f(x)在点x?(?1,2)处的最速下降方向
4．(20分)无约束优化问题阻尼Newton法迭代公式为xk?1?xk??kGKgk，拟Newton法的思想可以是构造一个对称正定阵Bk近似替代Gk，则搜索方向由Bkpk??gk求出。初始B0?I，Bk?1由Bk修正得到，Bk?1要满足拟Newton方程Bk?1sk?yk，其中sk?xk?1?xk,yk?gk?1?gk。假定正定阵Bk是秩2修正的，即Bk?1?Bk??uu?TT1T?1?vvT，u,v?Rn，试推导出
?,?,u,v的一种取法满足拟Newton方程，
并用相应拟Newton法计算minf(x)?3212x1?x2?x1x2?2x1初始点取为x0?(0,0)T。 22T5．(12分?) 考虑问题
写出问题取得最优解的Kuhn-Tucker（K－T）必要条件，并通过K－T条件求出问题K－T点及相应Lagrange乘子。 6．(8分?) 利用投影矩阵求出向量y?(2,5,7)在超平面H?{x|?2x1?x2?x3?10}上的投影向量。 7(10分)利用简约梯度法求解以下问题，初始点取为(1,0)，迭代一步。
8（8分）证明：在拟牛顿法中，若矩阵Hk正定，则拟牛顿法得到的搜索方向（非零向量）是下降方向。 课程编号: MTH17085 北京理工大学
T2010-2011学年第二学期
2009级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）
maxf(x)?2x1?x2?x31(15分)．求解线性规划
s.t.x1?x2?x3?6?x1?2x2?4x1,x2,x3?0
不用重新计算，给出发生下列变化后新的最优解。（1）maxf(x)?2x1?3x2?x3。（2）增加一个新约束?x1?2x3?2。 2．(18分)给定极小化问题minf(x)?4x1?4x1x2?2x2?2x2?1初始点取为x0?(0,0) 。(1)针对初始点处的负梯度方向求出满足不精确一维搜索Wolfe条件的步长区间，其中??0.1,??0.9。 (2) 用PRP共轭梯度法求解上述问题。 3．(15分) 试推导无约束优化问题拟Newton法对称秩1公式，即Hk?122Tu?Rn，给出?,u的取法满足拟Newton?Hk??uuT，
方程Hk?1yk?sk，其中sk?xk?1?xk,yk?gk?1?gk。并用相应拟Newton法计算
2minf(x)?4x12?4x1x2?2x2?2x2?1初始点取为x0?(0,0)T。
4．(10分?) 用外罚函数法求解
minf(x)?x1?x22s.t.x1?x2?0minf(x)??x1?x22x12?x2?4?0
5(12分)利用广义简约梯度法求解问题s.t.6（8分）设f(x1,x2,L,xn)为凸集D?。初始点取为(2,0)，迭代一步。
Tx1?0,x2?0.Rn上的凸函数，?为实数，证明水平集
L(?;f)?{(x1,x2,L,xn)|(x1,x2,L,xn)?D,f(x1,x2,L,xn)??}为凸集。
maxf(x)?bTyminf(x)?cTxT7．(10分)若原始线性规划为s.t.Ax?b其对偶问题为s.t.Ay?c证明：（1）x为原始问题的可行解，y为对偶
y?0x?0TT问题的可行解，则cx?by（2）若原始问题与对偶问题其中之一有无下界的目标函数，则另一个无可行解。
ncminf(x)??ii?1xi8．(12分?) 给定非线性规划问题s.t.?axii?1ni?b
x?01?n?2(ac)??ii??i?1?。
其中ai,ci,b都是正常数，设x*是该问题的最优解，证明该问题的最优值为f(x*)?b2
北京理工大学2005-2009级数学专业最优化方法期末试题A卷
