第五章 近代数学史
1． 中世纪的欧洲数学
公元5～11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，直到12世纪欧洲数学才开始复苏。 斐波那契（公元1170年至公元1250年）是第一位有影响的数学家。他的代表作《算经》系统介绍了印度、阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大的影响。《算经》中的一个“兔子问题”，产生了着名的斐波那契数列。
2． 向近代数学过渡作准备
⑴ 代数学的产生
欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，并拉开了近代数学的序幕。特别表现在三、四次方程求解和符号代数两个方面。代表人物有：
A． 塔塔利亚（公元1499年至公元1557年）意大利数学家，给出了形如： x3?mx2?n (m,n?0) 三次方程的代数解法
B． 费罗（公元1465年至公元1526年）波伦亚大学的数学教授，给出了形如： x3?mx?n (m,n?0) 三次方程的代数解法
C． 卡尔丹（公元1501年至公元1576年）学者，在其着作中公布了这些解法。并认识
到复根是成对出现的。
D． 邦贝利（公元1526年至公元1573年）意大利数学家，在其着作《代数》中引进了
虚数。
E． 吉拉德（公元1593年至公元1632年）荷兰数学家在《代数新发现》中给出了着名
的“代数基本定理”
F． 韦达（公元1540年至公元1603年）法国数学家，是数学符号系统化的先驱和功臣。
他使用的代数符号的改进工作由笛卡儿完成。如：a，b，c表示已知量，x，y，z表示未知量。在方程方面有着名的韦达定理（方程的根与系数的关系）。
⑵ 三角学的形成
在1450年前，三角学主要是球面三角学，15、16世纪，德国人开始对三角学作新的推
进。编制了正弦表，给出了三角函数关系，并采用了6个函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。产生了三角恒等式。
在16世纪三角学从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。
⑶ 射影几何学
射影几何学源于绘画艺术中的透视学（法）。研究射影几何学的数学家有： A． 德沙格（公元1591年至公元1661年）法国数学家，在其着作《试论锥面截一平面所得结果的初稿》中引入70多个射影几何术语，成为从数学上第一个解答透视法问题的人。 B． 帕斯卡（公元1623年至公元1662年）法国数学家，在射影几何学方面的成就是帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。
射影几何产生后不久，就让位于代数、解析几何和微积分。
⑷ 对数的发明
数值计算的需要导致了对数的发明。
纳皮尔（公元1550年至公元1617年）苏格兰数学家在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法的。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。
3． 解析几何学的诞生
近代数学的本质上可以说是变量数学。而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆（公元1323年至公元1382年）。但解析几何的真正发明要归功于法国数学家笛卡儿和费马。
⑴ 笛卡儿（公元1596年至公元1650年）1637年发表了着名的哲学着作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》。在这本书的附录《几何学》中，笛卡儿从一个着名的希腊数学问题～帕波斯问题出发，系统阐述了解析几何的理论，成为解析几何的发明人。
笛卡儿也是一位哲学家，他将其《方法论》作为发现真理的一般方法，称之为“通用数学”，并概述了这种通用数学的思路。甚至提出一项计划：
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
笛卡儿坚持用怀疑的态度进行科学研究。他有一句哲学名言：“我思故我在”。
⑵ 费马（公元1601年至公元1665年）1629年，在着作《论平面和立体的轨迹引论》一书中，清晰地阐述了他的解析几何原理。并解析地定义了下面的曲线：
直线方程： d(a?x)?by 圆： b2?x2?y2 椭圆： b2?x2?ky2 抛物线： x2?dy， y2?dx 双曲线： xy?k2； x2?b2?ky2 费马还定义了新曲线：
xmyn?a， yn?axm 和 rn?av
但是费马并没有说明他的解析几何思想是如何形成的。
4． 微积分的创立及分析时代的成果
解析几何是代数与几何相结合的产物。它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立打下了基础。
微积分发明之前，在科学研究上酝酿了近半个世纪，发生了许多重大事件：
① 德国天文学家、数学家开普勒（公元1571年至公元1630年）在1615年论述了圆锥曲线围绕某直线旋转而成的立体体积的积分法。1619年，公布了他的行星运动三大定律。 ②
意大利物理学家、数学家伽利略（公元1564年至公元1642年）在1638年建立了自由落体定律、动量定律。 ③
意大利数学家卡瓦列里（公元1598年至公元1647年）发展了系统的不可分量方法，即“卡瓦列里原理”。P147。 ④
法国数学家笛卡儿（公元1596年至公元1650年）在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”，这种方法本质上是一种代数方法。在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿正是以这种方法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。
⑤ 法国数学家费马（公元1601年至公元1665年）的求极大值与极小值的方法也可以用来求曲线的切线。
⑥ 英国数学家巴罗（公元1630年至公元1677年）也给出了求曲线的切线的“微分三角形”法。巴罗是牛顿的老师，一位剑桥大学的数学教授。
⑦ 英国数学家沃利斯（公元1616年至公元1703年）是最早将分析方法引入微积分的，具体体现在他的着作《无穷算术》中。他在研究四分之一单位圆的面积时，得到了π的无穷乘积表达式。这项工作直接引导牛顿发现了有理数幂的二项式定理。P154页。
16世纪的数学家们的突出工作为微积分的发明铺平了道路。时代的需要和个人的才识，使牛顿和莱布尼兹完成了微积分的创立中的最后也是最关键的一步。 ⑴ 牛顿的“流数术”
牛顿（公元1642年至公元1727年）于1661年进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对于他的数学思想的形成影响最深。正是这两部着作引导牛顿走上创立微积分之路的。
1664年，牛顿首创了小o记号表示x的无穷小且最终趋于零的增量。 1665年11月，发明了“正流数术”（微分法）。 1666年5月，又建立了“反流数术”（积分法）。
1666年10月，写出了历史上第一篇微积分论文《流数简论》。但未发表。到1693年，又先后写成了三篇微积分论文：《运用无限多项方程的分析》（简称《分析学》1669年）；《流数法与无穷级数》（简称《流数法》1671年）；《曲线求积术》（《求积术》1691年）。
1687年出版的力学名着《自然哲学的数学原理》（简称《原理》）成为数学史上划时代的着作。
⑵ 莱布尼兹的微积分
莱布尼兹（公元1646年至公元1716年）德国数学家，早年在莱比锡大学学习法律，同时接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡和巴罗等人的数学思想。1667年获阿尔特多夫
大学法学博士学位。1672年～1676年在巴黎任德国驻法国大使。
从1672年开始，莱布尼兹将他对数列的研究与微积分的运算联系起来。用笛卡儿的解析几何研究曲线时，他发现：求切线不过是求差，求积不过是求和。
他首先着眼于求和。在1675年10月29日的一份手稿中，他首次用符号?表示sum。11月11日的手稿中，又引进了记号dx表示两相邻x的值的差，并寻找?运算和d 运算的关系，并给出了幂函数的微分和积分的公式（P169页）。
1677年，他在一份手稿中明确陈述了微积分基本定理。
1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》（简称《新方法》）。这是数学史上第一篇正式发表的微分学文献。其中定义了微分并使用了微分记号dx，dy。在《新方法》中，他陈述了1677年得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式（P171页）。并包含了在求拐点以及光学等方面应用。
1686年莱布尼兹发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何学与不可分量及无限的分析》。在这篇积分学论文中，积分号?第一次出现在印刷出版物上。
莱布尼兹还是二进制数制的发明人（1679年《二进制算术》）。他也是制造计算机的先驱（1674年制成了第一台做四则运算的“算术计算机”）。
莱布尼兹也是行列式的发明人（1693年）（P173页）。
⑶ 分析时代的成果
微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。
① 微积分的发展
在英国和欧洲大陆，对微积分的发展起重大作用的代表人物有：
泰勒（公元1685年至公元1731年）英国数学家，曾做过英国皇家学会的秘书，以泰勒公式的发现而着称。
麦克劳林（公元1698年至公元1746年）英国数学家，着有《流数论》。 棣莫弗（公元1707年至公元1730年）英国数学家，有着名的棣(di)莫弗公式：
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