正弦定理、余弦定理综合应用
例1.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a?2bsinA. (Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA?sinC的取值范围. 解:(Ⅰ)由a?2bsinA,根据正弦定理得sinA?2sinBsinA,所以sinB?1, 2π. 6???(Ⅱ)cosA?sinC?cosA?sin????A?
???由△ABC为锐角三角形得B?13??????sinA?3sin?A??. ?cosA?sin??A??cosA?cosA?223???6???????2???由△ABC为锐角三角形知,?A??B,?B???. ?A??,
2222633361???33??3?所以sin?A???. 由此有?3sin?A????3,
2?3?223?2??33?. ??2,?2??例2.已知△ABC的周长为2?1,且sinA?sinB?2sinC.
1(I)求边AB的长; (II)若△ABC的面积为sinC,求角C的度数.
6解:(I)由题意及正弦定理,得AB?BC?AC?2?1, BC?AC?2AB,
两式相减,得AB?1.
111(II)由△ABC的面积BCgACgsinC?sinC,得BCgAC?,
263AC2?BC2?AB2(AC?BC)2?2ACgBC?AB21?, 由余弦定理,得cosC? ?2ACgBC2ACgBC2o所以C?60.
例3.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(3,?1),n=(cosA,sinA).若m⊥n,
π且acosB+bcosA=csinC,则角B= .
6ao例4.设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60,c=3b.求的值;
c222a7122117. 解:由余弦定理得a?b?c?2bcosA=(c)?c?2gcgcg?c2, 故?c33329例5.在△ABC中,三个角A,B,C的对边边长分别为a?3,b?4,c?6,
61则bccosA?cacosB?abcosC的值为 .
2例6.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,若3b?ccosA?acosC,
所以,cosA?sinC的取值范围为???3 3?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c?6?2且?A?75o,例7.(2009年广东卷文)已知?ABC中,
则b?
2?60000000【解析】sinA?sin75?sin(30?45)?sin30cos45?sin45cos30?
4则cosA?_________________.
1a由正弦定理得b??sinB?2, 2sinAAC例8.(2009湖南卷文)在锐角?ABC中,BC?1,B?2A,则的值等于 2 ,
cosAAC的取值范围为 (2,3) .
由a?c?6?2可知,?C?750,所以?B?300,sinB?ACBCACAC?,??1??2.
sin2?sin?2cos?cos?oooo由锐角?ABC得0?2??90?0???45,
23ooooooo?cos??又0?180?3??90?30???60,故30???45?, 22?AC?2cos??(2,3).
22例9.(2009全国卷Ⅰ理)在?ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a?c?2b,且sinAcosC?3cosAsinC, 求b
解法一:在?ABC中QsinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:
解: 设?A??,?B?2?.由正弦定理得
a2?b2?c2b2?c2?a2ag?3gc,化简并整理得:2(a2?c2)?b2.
2ab2bc222又由已知a?c?2b?4b?b.解得b?4或b?0(舍).
解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0。
所以b?2ccosA?2…………………………………①
又sinAcosC?3cosAsinC,?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC sin(A?C)?4cosAsinC,即sinB?4cosAsinC
22222bsinC,故b?4ccosA………② 由①,②解得b?4。 c3210.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A?C)?cosB?,b?ac,求B.
233解:由 cos(A?C)+cosB=及B=π?(A+C)得 cos(A?C)?cos(A+C)=,
2233 cosAcosC+sinAsinC?(cosAcosC?sinAsinC)=, sinAsinC=.
4222又由b=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sinB?sinAsinC,
由正弦定理得sinB?333, sinB? 或 sinB??(舍去),
224π2ππ2于是 B= 或 B=. 又由 b?ac知b?a或b?c 所以 B=。
333故 sinB?2例11.在?ABC中,BC?5,AC?3,sinC?2sinA(Ⅰ)求AB的值。 (Ⅱ)求sin(2A??4)的值。
ABBCBC,于是AB?sinC??2BC?25
sinCsinAsinAAB2?AC2?BC2(2)解:在?ABC 中,根据余弦定理,得cosA?
2AB?AC54322于是sinA?1?cos2A=, 从而sin2A?2sinAcosA?,cos2A?cosA?sinA?
555???2sin(2A?)?sin2Acos?cos2Asin?
44410【解析】(1)解:在?ABC 中,根据正弦定理,
例12.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a?b?3bc,sinC=23sinB,则A= 【解析】由sinC=23sinB结合正弦定理得:c?23b,所以由于余弦定理得:
22b2?c2?(b2?3bc)c2?3bcb2?c2?a2?? cosA??cosA?2bc2bc2bc3(23b)2?3b?23b,所以A=30°. ?22b?23b例13.(2010年高考广东卷理科11)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,
A+C=2B,则sinC= .
131?,即. sinA?sinAsin60o2ooooo由a?b知,A?B?60,则A?30,C?180?A?B?90,sinC?sin90?1.
1例14.在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,?ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为3?3,
2则?BAC=_______.
解析:设BD?a,则DC?2a,由已知条件有
11S?ADC?AD?DC?sin?ADC??2?2asin600?3a?3?3?a?3?1,再由余弦定理分别
221220得到AB?6,AC?24?123,再由余弦定理得cos?BAC?,所以?BAC?60.
22?例15.(2010年高考北京卷理科10)在△ABC中,若b = 1,c =3,?C?,则a = 。
3131?2??sinB??A?【解】由正弦定理,解得,又,所以,所以a = b = 1。 ?C?0sinBsin120263例16.在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC. (Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求sinB?sinC的最大值.
2解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c
1222222即 a?b?c?bc 由余弦定理得 a?b?c?2bccosA故 cosA??,A=120°
231cosB?sinB?sin(60??B) (Ⅱ)由(Ⅰ)得:sinB?sinC?sinB?sin(60??B)?22【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。
例17.(2010年高考浙江卷理科18)在VABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C= -(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC,求b及c的长。
1。 4101,及0<C<π 所以sinC=. 44ac?(Ⅱ)解:当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理,得 c=4 sinAsinC61由cos2C=2cos2C-1=?,J及0<C<π得cosC=± 44由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得b2±6b-12=0
解:(Ⅰ)因为cos2C=1-2sin2C=?解得 b=6或26 所以 b=6 c=4 或b=6 c=4
(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
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