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立体几何中最值问题求解策略
立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。
策略一 转化为求函数最值
例1 已知正方形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，AB=2,M为线段AC上一动点，当M在什么位置时，M到直线BF的距离最短？
分析：本题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC、BF间距离。可用代数中求最值的方法来解决。
解：作MH?AB于H,作HN?BF于N ,易知MH?平面ABEF. C由三垂线定理可知，MN?BF.
D设AM=x,则MH=AH=
2
2
2
2221x,HN=x,BH=2?HB=1?x 2222AMBHNFE11322则MN=MH+HN=x2?(1?x)2=(x?)2?
22433所以当AM=
62时，MN有最小值。
33A策略二 借助 均值不等式求最值
例2 求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。
解：如右图所示，设正三棱锥高O1A=h, 底面边长为a
3a，又知OA=OB=R 由正三棱锥性质可知O1B=3BODO1C 则在Rt?ABC中，( ?
?32a)?R2?(h?R)2 3a2?3h(2R?h)
?hh???2R?h?22?13232hhah?h(2R?h)?3V=(2R?h)?3??? 344322????3=833h4R(当且仅当?2R?h，即h?R时，取等号 ) 2723? 正三棱锥体积最大值为
833R 27
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策略三 借助最小角定理建立不等关系
例3 ??l??是直二面角，A??,B??,A，B不在l上，设AB与?,?成的角分别是?1,?2，求 ?1??2的最大值。
解析：如图所示，过A作L垂线，垂足为C,易知AC??
ADCLB?
过B作L垂线，垂足为D,易知BD??.所以?ABC??2, ?BAD??1，在Rt?ABD中，?ABD?
由最小角定理可知?2?
当D、C重合时，?1??2???2??DAB??2??1
?2??BAD??2??1，所以?1??2??2。
?2。所以最大值为
?。 2D1C1
策略四 借助侧面展开图求最短路径
例4 长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=6,BC=5,CC1?4,一只蚂蚁从A1出发，A1B1沿长方体表面到达C处，求蚂蚁爬过的最短距离。
解：如左图所示,蚂蚁爬过的路径有三种，可由侧面展开的结果
比较而求得最值。
A1DCABAB
?(A1A?AB)2?BC2、=(6?4)2?52?125 (1 1.AC1D
2222?(AB?BC)?AA2 AC=(6?5)?4?137 111DCA1B1C1
ABC 2
?(AA1?AD)2?DC2?(4?5)2?62?117 3 AC1A1B1
AB显然第3种距离最短 。 3
策略五 利用极限思想
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例5 1 三棱锥P-ABC中，若棱PA=x,其余棱长均为1，探讨x是否有
最值；
2若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值。
解析：如图第1题：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是 P、A重合，取值为0，若?PBC绕BC顺时针旋转，PA变大，
最大极限是P,A,B,C共面时，PA为菱形ABPC的对角线长度为3 第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。故P、O重
合时，侧棱取最小极限值
3，PO无穷大时，侧棱也无穷大。 3PAOBC
可知两题所问均无最值。
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