求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
x4?1例1：求极限lim
x?1x?1【说明】x?1表明x与1无限接近，但x?1，所以x?1这一零因子可以约去。
(x?1)(x?1)(x2?1)?lim(x?1)(x2?1)?6=4 【解】limx?1x?1x?12．分子分母同除求极限
x3?x2例2：求极限lim
x??3x3?1【说明】
?型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?1?1x3?x21x【解】lim3 ?lim?x??3x?1x??3?13x3【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；
??0nn?1ax?an?1x???a0? (2) limnm???m?1x??bx?bx???bmm?10?an??bn3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限lim(x2?3?x2?1)
x???m?nm?n m?n【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x?3?x?1)?limx???22(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x???
?lim2x?3?x?122x????0
例4：求极限limx?01?tanx?1?sinx
x3【解】limx?01?tanx?1?sinxtanx?sinx ?lim33x?0xx1?tanx?1?sinx1lim?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx1?tanx?1?sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键
4．应用两个重要极限求极限
11sinx两个重要极限是lim?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，第
x??n??x?0x?0xnx1一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
?x?1?例5：求极限lim??
x???x?1??【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑?数部分。
x?11??xx22?1??2?2??x?1??2?????lim1??lim1?1??e【解】lim? ?????x?1????x???x?1x???x???x?1?x?1?????2??????2x1，最后凑指X1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。
x???x????x??x?a?5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当x?0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~e?1,
xxx12bx,?1?ax??1~abx； 2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．
1?cosx~(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．
xln(1?x)?
x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】 lim?lim?2.
x?01?cosxx?012x2sinx?x例8：求极限lim
x?0tan3x例7：求极限lim2?1sinx?xcosx?11sinx?x2x?lim?lim??lim??【解】lim 322x?0x?0x?0x?0tan3x6x3x3x6．用罗必塔法则求极限
lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求极限lim 2x?0x?0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 ?0?2sin2xsin2x?2lncos2x?ln(1?sin2x)cos2x1?sinx 【解】lim?lim2x?0x?0x2x【说明】
?limsin2x??21??????3 2x?02x?cos2x1?sinx?【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
?例10：设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0.
x?f(x?t)dt【解】 由于
?x0f(x?t)dt?x?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是
0xx00xlim?x0(x?t)f(t)dtx0x?0x?f(x?t)dtx?limx?f(t)dt??tf(t)dtx?f(u)du0xx?0
?=limx?00f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=lim??x0x0f(t)dt
0f(u)du?xf(x)xx?0f(u)du?xf(x)?=limx?00f(t)dtxx?f(x)=
?x0f(u)duf(0)1?.
f(0)?f(0)2
经典求极限方法
