数系的扩充与复数的引入复习指导
「教材重点J: 1.复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义; 2. 复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；3.体会数学 思想方法一类比法.
r教材难点」：夏数的儿何意义，发数加法以及夏数减法的儿何意义，发数的除 法.
r复习过程指导」
在复习木章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实 数、有理数的联系；(2)复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减 法运算的联系；(3)夏数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减 法、乘法运算的联系.
在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自 己的数学逻辑思维能力.其数学思想方法(类比法、化一般为特殊法)网络如下：
多项式萎比 1运算1 复数 运算 向量 运算 数轴上 向量运 算 1数学思想方法之一：类比法 (1) 复数的运算
复数代数形式的加法、减法运算法则
(a + bi) ± (c + di) = (a± c) + (Z?± d)i
复数代数形式的乘法运算运算法则:
(口 + 洗)(c + d，)= (ac -bd) + (ad + bc)i
显然在运算法则上类似于多项式的加减法(合并同类项)，以及多项式的乘法，这 就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便.
(2) 复数的几何意义
我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一 一
对应；类似的我们有：
复数集C=｛a + bi\\a,beR｝与坐标系中的点集｛(a,b)\\aeR,beR｝一一对 应.于是：
复数集z=a + hi —复平面内的点Z(a,b) 复数集z = ci + bi Q平面向景0Z
例1 （2005高考浙江4）.在复平面内，复数 —+ （1+V3i）2对应的点
1 + i
位于（）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
解答：复数—+ （l + V3/）2= —+ 1 + 2V3/-3
1 + / 2
2
1
=——+ （— , 2gi 2 2
因为复数一2 - + （- + 2 2V3）z对应着直角坐标平面内的点（--,- + 2 2 273）,
故在第二象限，答案为B.
此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的解.
例2.非零复数％,&分别对应复平面内向量OA.OB ,若I %+% IT %-弓I
A . OA=OB
C . OA1OB D.办,而共线
解答：由向量的加法及减法可知：
OC= OA + OB AB = OB-OA
由夏数加法以及减法的儿何意义可知:
kj+zJ对应无的模 图1
I Z] - & I对应AB的模
又因为I Zj + z21 = k| -1,且非零复数分别对应复平面内向量
OA.OB
所以四边形0ACB是正方形 因此OA = OB，故答案选B.
注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义
（3）复数的化简
虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”.
例3 （2005高考天津卷理（2））若复数 土^ （c/eR, i为虚数单位）是纯虚数,
I + 2/
理 则向量不与况的关系必有（）
则实数。的值为
（A） -2
由。+
解答:
3i _ (Q + 3i)(l - 2，)_ Q + 6 + (3 - 2。)i 2广(1 + 20(1-2/)
。+ 6 3 — 2。. = ----- + ------ 1
5 5 因为复数上如是纯虚数
1 + 2， 所以心=0且
5 解得a =-6 故答案选C.
注：这里在夏数的化简中主要用了一对共跑夏数的积是实数
1 + l+2
22
5
(l-2i)(l + 2i) = 5 , 一般地(a+bi) (a-bi) = a +b
这也是一个复数与实数转化的过程，即生凶+ ±兰，是纯虚数可得： 尝=0且空。0, 5 5
222.数学思想方法之二 转化法
我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进 行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数 的运算.
'实数 a(b = 0)
基础知识：复数a+bi\\，.州 〔纯虚数bi(a = 0)
虚数。+\工0)｛「八…
［非纯虚数Q + bK。。0)
例4 (2005高考北京卷(9))若4=。+ 2，，上=3-屯，且反为纯虚数，则
实数a的值为
布次 4 _o + 2i (o + 2i)(3 + 4i) _ 3\。.
22
Z2 3-4/ 3 +4 25 25
因为立为纯虚数
. 3ci — 8 八 6 + 4。 , TJZR 8 所以 ----- =0且 ------- 壬0.解得a = -
25 25 3
例5 . (2005高考，吉林、黑龙江、广西(5))设。、b、c、d eR ,若仁也 c + di
为实数，贝U,
(A) be + ad 0 (B) be-ad ^0 (C) be-ad = 0 (D) hc + ad = 0
解答：
a+bi ac + bd he 一 ad . 22 1221c + di~ c^d c+d
因为竺也为实数，
c + di
所以其虚部籍理=0,即bc-ad=0 c +d 故答案选c.
这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式. 类似于以
前所学的实数化简时的把分母“有理化”.再把它转化为实数的运算.
二.解题规律总结
1有关虚数单位，?的运算及拓展
虚数，的乘方及其规律：i' = i ,户=_ i ,户=,尸=],
5
； ；6
1 ;7
； ；8
1
；4〃+1
； ；4〃+2 i ；4〃+3
;
i / 一 \\
=1,1 =—1 摆 =—IJ =!,??/ = /j
= —l,z = —iyi = I ??- \\ n e IN )
拓展（1）任何相邻四个数的和为0 :
（2） 指数成等差的四个数的和为0 ；
例如：尸，，3 +户\1 +户土 +产\3 = 0
（3） 连续多个数相加的规律.
例6.求严+，”+产+…严6的值
解答：共有2006-10+ 1 = 1 997项
由于 1997=4x499 + 1 由于连续4个的和等于0 因此原式=严=一1
2.有关复数的几个常用化简式 （l + 0=2/\\（l-z）=-2/, - =
I \\-i
2
2
= = \\-i
1+z （
）
例7 （2005高考重庆2）?（l±i）2m =
A
A. i
?
D
B. — i
\\-i
- 厂
C. 2
勺 2（X）5
n
D. — 2
o 2（X）5
解答：（项）2005 =严。5 =（尸）501 i = j
故答案选A
3. 有关复数的综合运算
例7 （2005高考上海18）、（本题满分12分）在复数范围内解方程
lz|2+（z + z）i = — 3为虚数单位）
? - 3-i
《复数的几何意义》素材3(苏教版选修1-2).doc
