试卷代号:1076座位号仁口国家开放大学(中央广播电视大学)2015年秋季学期\常微分方程试题(半开卷)2016年1月国1.微分方程的y'-.:L=x的通解为y=(工=t五~一、单项选择题{每小题3分，本题共15分}). ~-~+G R~+G D.x2十CC. -X2十C2.方程学=.fY十1的奇解(ux A一个也没有) B.有元数个c.只有一个D.只有两个3.向量函数组Y1(川，Y2(x)，…，Yn(x)的朗斯尔行列式W(x)=0是它们线性相关的)条件.A.充分必要c.必要B.充分D.既不是充分也不是必要4.已知方程xy'+y'=位的一个特解为z2，又对应齐次方程xy'+y'=o有一个特解为lnx，则原方程的通解为(A Y -e + c z ). z n 十工2B. y=C1X:!十C21nx十x2c. y=C1 +C21nx十x328 D. y=C1x3+C21nx+x2 '一-由-平面系统L一U由一一出|lll，?\y ZZ + 〈il--的奇』类型是肉同、A.稳定焦点c.不稳定焦点B.不稳定结点D.鞍点|I I |得分|评卷人|二、填空题{每小题3分，本题共15分)6.微分方程xyy'=XCy')3 -y4 y' =0是一一一→阶微分方程.7.方程学=xsinCx+y)满足解的存在惟一性定理条件的区域是ax 8.两个不同的线性齐次微分方程组的基本解组是的.9.方程的X:+2;+x=旷的任一解的图像是三维空间。，x，;)中的fill--dlil--L nu 平面系统--一m-出一坐一出9'Uz l「3y y r+ 的奇占H类型是叫qu三、计算题{每小题8分，本题共40分}11求可分离变量方程主=州的通积分12求一阶线性非齐次方程去十2x卢z的通解13.求全微分方程edx+(xe+2y)dy=0的通积分.14.求克莱洛方程y=xy'+ y' (y')2的通解.15.求可降阶的高阶方程ysf十1=0的通积分.329 四、计算题{本题共15分}16.求下列常系数线性微分方程组的通解:(苦=川吉=4汁5y五、证明题{本题共15分}17在方程去=州州中，已知仰，cp'(X)在(一∞，十∞)上连续，且ψ(士1)=0求证:对任意Xo和Iyo1<1，满足初值条件y(Xo)= yo的解y(X)的存在区间必为(一∞.+∞).330 试卷代号:1076国家开放大学(中央广播电视大学}2015年秋季学期\常微分方程试题答案及评分标准(半开卷)(供参考)2016年1月一、单项选择题{每小题3分，本题共15分}1.B 2.A 3. C 4. C 5. D 二、填空题{每小题3分，本题共15分)7.全平面8.不同9.一条曲线10.不稳定结点三、计算题{每小题8分，本题共40分)11.解当y手O，y芋1时，分离变量取不定积分，得(斗J yllly y= J rdx + C (4分)通积分为:lny=Cex(8分)12.解对应的齐次方程主+切=0的通解为:y=Ce-X2(4分)令非齐次方程解为:y=C(x) e-x2 代入原方程，得C(x)=2e2十C原方程通解为:y=Ce-X2十2(8分)[注]:用通解公式求解正确参照给分.13.解由于→δM '::=e.. Y=一，所以原方程是全微分方程.eN δy ex (3分)取(xo，yo)=(O，O)，原方程的通积分为J:巾+J:2ydy=C (6分)即xe+y2=c(8分)33] 14.解这是一个克莱洛方程，因此通解为y=Cx+C+CZ (8分)15.解令y'=ρ，y=PEP'dP 代人方程，得仰=一去dy(3分)积分，得~1 ~2 2 p2 _ r = 1 2 ~ y-2 +C1 ρz7+cz? 1, ~ ]?丁Cv2 EL但一_L..Jf丰百Tdx ~ y (5分)分离变量，积分得J LV'1 星兰-=士+ Cy\J fdx+C2 原方程的通积分为1+Cy2 = (CX+C3)2 (8分)四、计算题(本题共15分}16.解特征方程为IA-?EI = 15~?刮=(?一川-9)=0特征根为:?l=1，λ2=9 (5分)当λ1=1时，对应特征向量[;J满足:[! !J [;J= [~J 则有α+b=O.取归，b=-l，对应解为:[~: J= [~lJ (10分)同理，当?2=9时，对应特征向量为:[:: ] = [~J (13分)所以，原方程组的通解为:~J=Clet [~lJ+C2e9t GJ (15分)五、证明题{本题共15分}17.证明由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在惟一及解的延展定理条件.显然y=士1是方程的两个常数解(5分)任取初值(xo，yo)，其中z。ε(一∞，十∞)，I yo 1<1.记过该点的解为y=抖。，由上面分析可知，一方面y=圳工)可以向平面元穷远处元限延展;另一方面叉上方不能穿过y=l，下方不能穿过y=-l，否则与惟一性矛盾、故该解的存在区间必为(一∞，+∞).(15分)332
中央电大2016年01月《1076常微分方程试题》开放本科期末考试真题及答案
