2024年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学 参考答案
一、选择题：
2．C 3. C 4．B 6．D 7. B 8．D 9． C 10. A
二、填空题： 13．4860;14．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由正弦定理得，
14;15．12?;16．?. 232R(sin2B?sin2A)?(b?c)sinC,................................2分
可化为bsinB?asinA?bsinC?csinC 即
b2?a2?bc?c2......................4分
b2?c2?a21?，A?60o.................................6分 cosA?2bc2（Ⅱ）以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC，在?ABE中，?ABE?120,AE?19,
o................................8分
在?ABE中，由余弦定理得
AE2?AB2?BE2?2AB?BEcos120o,............................10分
即：19?9?AC2?2?3?AC2?(?),解得，AC?2. 故S?ABC?
12133bcsinA?.................................12分 2218.解：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，则P(A)3
＝................................3分 5
由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，X3?3?服从二项分布，即X～B?10，?，故E(X)＝10×＝6................................6分 5?5?
(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为E(Y)，由抽样可得
E(Y)?100?7?300?8?500?15?700?13?900?7?520则该自然村年均用电量
5050505050约156 000度．...............................9分
又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益144000×＝115200元．................................12分
19.解：（Ⅰ）在△BCD中，EB=ED=EC，故?BCD??，?CBE??CEB??,
23因为△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，
从而有?FED??BEC??AEB??..............................3分
3∴?FED??FEA，故EF⊥AD，AF=FD． 又PG=GD，∴FGCF?EF?F又AD?平面CFG，∴平面PAD⊥平面CGF.............................6分 （Ⅱ）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则
A(0，，00)，B(2，，00)，C(3，3，0)，D(0，23，0)，P(0，，03).
uuuruuruuur0，CP?(?3，?3，3）0． 故BC?(1，3，），CD?(?3，3，）设平面BCP的法向量n1?(1，y1，z1)，
?3??y1?－3,?1?3y1?0,则?解得?
2??z1?.??3?3y1?3z1?0,3?2)..............................9分 即n1?(1，－3，33???y?3，??3?3y2?0，设平面DCP的法向量n2?(1，y2，z2)，则?解得?2
z?2，???2??3?3y2?3z2?0，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为 即n2?(1，3，cos??|n1gn2|?|n1||n2|4316?89?2. .............................12分 4
20.解：（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则|OS|+|SF|=|OT|=2，取F关于y轴的对称点F′，连F′P，故|F′P|+|FP|=2（|OS|+|SF|）=4．.............................3分 所以点B的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．
x2y2其中，a=2，c=1,曲线C方程为??1..............................5分
43(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q，设Q(0,m), 设直线l的方程为y?kx?1，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 2?x2y2??1,??4223由?消去x，得(3?4k)x?4kx?11?0. ?y?kx?1??2由直线l过椭圆内一点(0,)作直线故Δ>0，由求根公式得：
12x1?x2??4k?11,x?x?,.............................9分 123?4k23?4k2由得?MQO??NQO,得直线得MQ与NQ斜率和为零.故
111kx1??mkx2??m2kx1x2?(?m)(x1?x2)y1?my2?m222?????0, x1x2x1x2x1x21?111?4k4k(m?6)2kx1x2?(?m)(x1?x2)?2k??(?m)???0. 22223?4k23?4k3?4k存在定点（0,6），当斜率不存在时定点（0,6）也符合题意．........................12分
21.（Ⅰ）f'(x)?e?2x，.............................2分 由题设得f'(1)?e?2，f(1)?e?1，
曲线f(x)在x?1处的切线方程为y?(e?2)x?1.............................4分
xxf'(x)?e?2xf''(x)?e?2，∴f'(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,??)上单调Ⅱ，（）
x递增，所以f'(x)?f'(ln2)?2?2ln2?0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)max?f(1)?e?1,x?[0,1].f(x)过点(1,e?1)，且y?f(x)在x?1处的切线方程为y?(e?2)x?1，故可猜测：当x?0,x?1时，f(x)的图象恒在切线y?(e?2)x?1的上方..............................7分 下证：当x?0时，f(x)?(e?2)x?1,
设g(x)?f(x)?(e?2)x?1,x?0，则g'(x)?e?2x?(e?2),g''(x)?e?2，
xxg'(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,??)上单调递增，又g'(0)?3?e?0,g'(1)?0,0?ln2?1，∴g'(ln2)?0，
所以，存在x0?(0,1n2)，使得g'(x0)?0，
所以，当x?(0,x0)?(1,??)时，g'(x)?0；当x?(x0,1)时，g'(x)?0，故g(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增，..........................10分
x2又g(0)?g(1)?0，∴g(x)?e?x?(e?2)x?1?0，当且仅当x?1时取等号，故
ex?(2?e)x?1?x,x?0.
xex?(2?e)x?1?lnx?1，当x?1时，等号成立...............12分 又x?lnx?1，即
x
22． 解：(Ⅰ)由直线l过点A可得2cos????????a，故a?2， 44??则易得直线l的直角坐标方程为x?y?2?0..............................2分
根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离
d?2cosa?3sina?22?7?sina????22,sin??2217,cos?， 77?dmax?7?214?22..............................5分 ?223?， 4(Ⅱ)由（1）知直线l的倾斜角为
则直线1的参数方程为
l3?x??1?tcos?,??4f(x)??（t为参数）.
3?y?1?tsin?,??4又易知曲线
C1x2y2??1. 的普通方程为43C1的普通方程可得把直线1的参数方程代入曲线
l72t?72t?5?0， 2?t1t2??10，依据参数t的几何意义可知710BM?BN?t1t2?......................10分
7
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：(Ⅰ)f(x)?x?1?2可化为|x?|?x?1?1．Q|x?|?x?1?a2a2aa?1??1?1,22
解得：a?0或a?4．?实数a的取值范围为(??,0]U[4,??).....................5分 （Ⅱ）函数f?x??2x?a?x?1的零点为a??3x?a?1,(x?),?2?a??f(x)??x?a?1,(?x?1),2??3x?a?1,(x?1),??a2aa和1，当a?2时知?1. 22
如图可知f(x)在(??,)单调递减，在[,??)单调递增，
a2
郑州市2024年高中毕业年级第二次质量预测理数试题
