对于驻点B0:A??2,B?0,C?6yx?3??12
y??2故B2?AC??24?0,又A??2?0.
? 函数f(x,y)在B0(3,?2)点取得极大值
26.解由y?x2与x?y2得两曲线的交点为O(0,0)与A(1,1)
x?y2(y?0)的反函数为y?x.
27.证??a0aaf(x)dx???x2??f(x)dx?dx
?0?0??a于是?0a3f(x)dx?.
3(a?1)28.解(1)先求函数的定义域为(0,??). (2)求y?和驻点:y??1?lnx,令y??0得驻点x?e. 2x(3)由y?的符号确定函数的单调增减区间及极值. 当0?x?e时,y??1?lnx?0,所以y单调增加; x2当x?e时,y??0,所以y单调减少.
1由极值的第一充分条件可知yx?e?为极大值.
e(4)求y??并确定y??的符号:
2lnx?32??x?e,令得. y?0y???3x3当0?x?e时,y???0,曲线y为凸的; 当x?e时,y???0,曲线y为凹的.
3?2根据拐点的充分条件可知点(e,e)为拐点.
23233232这里的y?和y??的计算是本题的关键,读者在计算时一定要认真、仔细。 另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷,现列表如下:
+ 0 - - - 0 - + 就表上所给的y?和y??符号,可得到:
lnx的单调增加区间为(0,e); xlnx函数y?的单调减少区间为(e,??);
xlnx1函数y?的极大值为y(e)?;
xe函数y?lnx函数y?的凸区间为(0,e2);
xlnx函数y?的凹区间为(e2,??);
x3?lnx函数y?的拐点为(e2,e2).
2x3333lnxlnx?0,lim??
x???xx?0?xlnx所以曲线y?有
x(5)因为lim水平渐近线y?0 铅垂渐近线x?0
(6)根据上述的函数特性作出函数图形如下图.