第5讲
一、选择题
古典概型
1.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(A.23
B.)12
1C.3
D.16
1解析从A，B中任意取一个数，共有C12·C3＝6种情形，两数和等于4的情
21形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P＝＝.63答案C
2.(2017·黄山一模)从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是(A.310
B.15
)1C.2
D.35
解析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C35＝10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个33基本事件，故所求概率为P＝3＝.C510答案A
3.(2017·马鞍山一模)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为(A.112
B.19
)
5C.36
D.16
解析落在2x－y＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率
31为P＝＝.6×612答案A
4.(2017·郑州模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b ) A. 16 B. 52481＝.243 1C.3 D. 724 3解析选出一个三位数有A34＝24种情况，取出一个凹数有C4×2＝8种情况， 所以，所求概率为P＝答案C 5.如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( a11a21a31A.37 B.47 a12a22a321C.14 a13a23a33D.1314) 解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有C39＝84种，因为取出的三个数 613＝.8414 11分别位于不同的行与列的取法共有C13·C2·C1＝6种，所以至少有两个数位于 同行或同列的概率为1－答案D二、填空题 6.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析答案 115这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.66656 7.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 2甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C24，乙同学的选法种数为C4， 22则两同学的选法种数为C24·C4，两同学各自所选水果相同的选法种数为C4， 由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率C21为P＝242＝.C4C46答案 16 8.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.解析 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，基本事件共 有C710＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A，若事件A发生，则6，7，8，9必取，再从0，1，2，3，4，5中任取3个数，有C36种选法.故C316所求概率P(A)＝＝.1206答案 16 三、解答题 9.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. 地区数量 A50 B150 C100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解 61(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，50＋150＋10050 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：11150×＝1，150×＝3，100×＝2. 505050 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C26＝ 6×5 ＝15，每个样品被抽2×1 到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件数 2为C23＋C2＝4，所以P(D)＝ 4.15 4故这2件商品来自相同地区的概率为.15 10.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解 (1)由题意，(a，b，c)所有的可能的结果有33＝27(种). 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种.所以P(A)＝ 31＝.279 1因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.9(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.所以P(B)＝1－P(B)＝1－ 38＝.279 8因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.9 11.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则(A.p1＜p2＜p3C.p1＜p3＜p2B.p2＜p1＜p3D.p3＜p1＜p2) 解析随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p1＝ 105＝.事件3618 “向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝ 13.因为朝上的点数之和不是奇数就是18 1偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1 2答案C 12.(2017·西安调研)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天 只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为(A.115 B.15 ) 1C.4 D.12 解析由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种.4·A313故所求事件的概率P＝33＝.C6A35答案B 13.(2017·河南省八市重点高中质检)已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，6，若a∈{4，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________.解析 要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有 两个实根，则Δ＝16(a2－b2)>0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即a>b，从a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}分别取1个a和1个b，有3×3＝9(种)，其中满足a>b的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，所62以所求的概率为＝.93答案 23 114.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、7乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C2n，从 袋中任取2个球的所有可能的结果数为C27. C21由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P＝n＝，则n(n－1)＝6，解得n C277＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球.
2024高考数学(理)一轮复习题库《第11章 第5讲 古典概型》
