×××大学线性代数期末考试题
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
11. 若0?3521x?0，则??__________。 ?2?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足 。
?x?x?x?023?13．已知矩阵A，B，C?(cij)s?n，满足AC?CB，则A与B分别是 阶矩阵。
?a11?4．矩阵A??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性 。 a32??25．n阶方阵A满足A?3A?E?0，则A? 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）
1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D?0。（ ）
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）
?1?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。3. 向量组a1，a2，（ ）
?0?14. A???0??0100?000??，则A?1?A。（ ） 001??010??15. 若?为可逆矩阵A的特征值，则A的特征值为?。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设A为n阶矩阵，且A?2，则AAT?（ ）。
① 2
n② 2n?1
③ 2n?1 ④ 4
?，?s（3 ? s ? n）线性无关的充要条件是（ ）2. n维向量组 ?1，?2，。
?，?s中任意两个向量都线性无关 ① ?1，?2，?，?s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ② ?1，?2，?，?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ③ ?1，?2，
?，?s中不含零向量 ④ ?1，?2，3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n个n?1维向量线性相关 ② 任意n个n?1维向量线性无关 ③ 任意n?1个n 维向量线性相关 ④ 任意n?1个n 维向量线性无关
4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
① 若A，B均可逆，则A?B可逆 ③ 若A?B可逆，则 A?B可逆
② 若A，B均可逆，则 AB 可逆 ④ 若A?B可逆，则 A，B均可逆
5. 若?1，?2，?3，?4是线性方程组A??0的基础解系，则?1??2??3??4是A??0的（ ）
① 解向量
② 基础解系
③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
x?a1. 计算行列式
bx?bbbccx?ccdddx?d。
aaa解·
x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?db?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdbx?bbbccx?ccdddx?d1bcd0?(x?a?b?c?d)x30x?(x?a?b?c?d)1x?b1b1bd0x0?(x?a?b?c?d)d00xx?d000
?301???2. 设AB?A?2B，且A??110?, 求B。
?014????2?1?1??5?2?2??，B?(A?2E)?1A??4?3?2?
??2?2?1??????1?3???11???22?解.(A?2E)B?A (A?2E)?1
?1?100??21?01?10??02?, C??3. 设B??001?1???00?0001??00???
31204?3??且矩阵?满足关系式X(C?B)'?E, 求?。 1?2???1???1????2??a???2???????114. 问a取何值时，下列向量组线性相关？?1????,?2??a?,?3????。
?2??2???1???1?a?????????2????2???
??x1?x2?x3???3?5. ?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多
?x?x??x??223?1解时求其通解。
① 当??1且???2时，方程组有唯一解； ②当???2时方程组无解
??2???1???1???????③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c20 ??????????0???0???1??
?1??2??1??3??????????4??9??0??10?, ??, ??6. 设?1???, ?2??并将其余向3??3?4??7?. 求此向量组的秩和一个极大无关组，1?1??????????0???3???1???7?????????量用该极大无关组线性表示。
?100???7. 设A??010?，求A的特征值及对应的特征向量。
?021???五、证明题 (7分)
若A是n阶方阵，且AA?I， 证明 A?I?0。其中I为单位矩阵。 A??1，?
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题 1. 5 5. A?3E 二、判断正误 1. × 三、单项选择题 1. ③ 四、计算题 1.
2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
2. √
3. √
4. √
5. ×
2.
??1 3. s?s，n?n
4. 相关
x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?db?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdbx?bbbccx?ccdddx?d1bcd0?(x?a?b?c?d)x30x?(x?a?b?c?d)1x?b1b1bd0x0?(x?a?b?c?d)d00xx?d000 2.
(A?2E)B?A (A?2E)?1?2?1?1??5?2?2??，B?(A?2E)?1A??4?3?2?
??2?2?1??????1?3???11???22? 3.
?1?0C?B???0??0??C?B??
'?14??1?2123?'?，(C?B)???3012???001??4000??1??21?00?，X???1?210???01?21??23012300120?0??0??1?'?1?E?C?B????1??2???1??001?21001?20?0??0??1?
4.
aa1，a2，a3??121?2?1212a?12111??(2a?1)2(2a?2)当a??或a?1时，向量组a1，a2，a3线性相
228?a关。 5.
① 当??1且???2时，方程组有唯一解； ②当???2时方程组无解
??2???1???1???????③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c20 ??????????0???0???1??6.
13??1213??1?12?49??01?4?2??0010??????(a1，a2，a3，a4)???1?1?3?7??0?3?4?10??0?????0?3?1?70?3?1?7?????0?100?2??0102?????0011???0000??3?1?4?2??0?16?16??0?13?13?21
则 r?a1，a2，a3，a4??3，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a4??2a1?2a2?a3 7.
??1?E?A?00000?(??1)3?0
??1?2??1?000??1??0???????特征值?1??2??3?1，对于λ1＝1，?1E?A?000，特征向量为k0?l0 ?????????0?20???0????1??五、证明题
??A?I?A?AA??AI?A????I?A????I?A?
∴2?I?A??0， ∵?I?A??0
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