×××大学线性代数期末考试题
一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)
11. 若0?3521x?0,则??__________。 ?2?1??x1?x2?x3?0?2.若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解,则?应满足 。
?x?x?x?023?13.已知矩阵A,B,C?(cij)s?n,满足AC?CB,则A与B分别是 阶矩阵。
?a11?4.矩阵A??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性 。 a32??25.n阶方阵A满足A?3A?E?0,则A? 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分)
1. 若行列式D中每个元素都大于零,则D?0。( )
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( )
?1?,am中,如果a1与am对应的分量成比例,则向量组a1,a2,?,as线性相关。3. 向量组a1,a2,( )
?0?14. A???0??0100?000??,则A?1?A。( ) 001??010??15. 若?为可逆矩阵A的特征值,则A的特征值为?。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分)
1. 设A为n阶矩阵,且A?2,则AAT?( )。
① 2
n② 2n?1
③ 2n?1 ④ 4
?,?s(3 ? s ? n)线性无关的充要条件是( )2. n维向量组 ?1,?2,。
?,?s中任意两个向量都线性无关 ① ?1,?2,?,?s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ② ?1,?2,?,?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ③ ?1,?2,
?,?s中不含零向量 ④ ?1,?2,3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n个n?1维向量线性相关 ② 任意n个n?1维向量线性无关 ③ 任意n?1个n 维向量线性相关 ④ 任意n?1个n 维向量线性无关
4. 设A,B均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
① 若A,B均可逆,则A?B可逆 ③ 若A?B可逆,则 A?B可逆
② 若A,B均可逆,则 AB 可逆 ④ 若A?B可逆,则 A,B均可逆
5. 若?1,?2,?3,?4是线性方程组A??0的基础解系,则?1??2??3??4是A??0的( )
① 解向量
② 基础解系
③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分,共63分)
x?a1. 计算行列式
bx?bbbccx?ccdddx?d。
aaa解·
x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?db?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdbx?bbbccx?ccdddx?d1bcd0?(x?a?b?c?d)x30x?(x?a?b?c?d)1x?b1b1bd0x0?(x?a?b?c?d)d00xx?d000
?301???2. 设AB?A?2B,且A??110?, 求B。
?014????2?1?1??5?2?2??,B?(A?2E)?1A??4?3?2?
??2?2?1??????1?3???11???22?解.(A?2E)B?A (A?2E)?1
?1?100??21?01?10??02?, C??3. 设B??001?1???00?0001??00???
31204?3??且矩阵?满足关系式X(C?B)'?E, 求?。 1?2???1???1????2??a???2???????114. 问a取何值时,下列向量组线性相关??1????,?2??a?,?3????。
?2??2???1???1?a?????????2????2???
??x1?x2?x3???3?5. ?为何值时,线性方程组?x1??x2?x3??2有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多
?x?x??x??223?1解时求其通解。
① 当??1且???2时,方程组有唯一解; ②当???2时方程组无解
??2???1???1???????③当??1时,有无穷多组解,通解为??0?c11?c20 ??????????0???0???1??
?1??2??1??3??????????4??9??0??10?, ??, ??6. 设?1???, ?2??并将其余向3??3?4??7?. 求此向量组的秩和一个极大无关组,1?1??????????0???3???1???7?????????量用该极大无关组线性表示。
?100???7. 设A??010?,求A的特征值及对应的特征向量。
?021???五、证明题 (7分)
若A是n阶方阵,且AA?I, 证明 A?I?0。其中I为单位矩阵。 A??1,?
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题 1. 5 5. A?3E 二、判断正误 1. × 三、单项选择题 1. ③ 四、计算题 1.
2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
2. √
3. √
4. √
5. ×
2.
??1 3. s?s,n?n
4. 相关
x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?db?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdbx?bbbccx?ccdddx?d1bcd0?(x?a?b?c?d)x30x?(x?a?b?c?d)1x?b1b1bd0x0?(x?a?b?c?d)d00xx?d000 2.
(A?2E)B?A (A?2E)?1?2?1?1??5?2?2??,B?(A?2E)?1A??4?3?2?
??2?2?1??????1?3???11???22? 3.
?1?0C?B???0??0??C?B??
'?14??1?2123?'?,(C?B)???3012???001??4000??1??21?00?,X???1?210???01?21??23012300120?0??0??1?'?1?E?C?B????1??2???1??001?21001?20?0??0??1?
4.
aa1,a2,a3??121?2?1212a?12111??(2a?1)2(2a?2)当a??或a?1时,向量组a1,a2,a3线性相
228?a关。 5.
① 当??1且???2时,方程组有唯一解; ②当???2时方程组无解
??2???1???1???????③当??1时,有无穷多组解,通解为??0?c11?c20 ??????????0???0???1??6.
13??1213??1?12?49??01?4?2??0010??????(a1,a2,a3,a4)???1?1?3?7??0?3?4?10??0?????0?3?1?70?3?1?7?????0?100?2??0102?????0011???0000??3?1?4?2??0?16?16??0?13?13?21
则 r?a1,a2,a3,a4??3,其中a1,a2,a3构成极大无关组,a4??2a1?2a2?a3 7.
??1?E?A?00000?(??1)3?0
??1?2??1?000??1??0???????特征值?1??2??3?1,对于λ1=1,?1E?A?000,特征向量为k0?l0 ?????????0?20???0????1??五、证明题
??A?I?A?AA??AI?A????I?A????I?A?
∴2?I?A??0, ∵?I?A??0
线性代数期末考试试题(卷)+答案解析合集
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)