解排列组合问题常用方法（二十种）
一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）
1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 例1、由0，分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有C3种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有C4种组合；最后
113排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有A4种排列。由分步计数原理得C3C4A4?288。
311变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多
少不同的种法？
分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有A4种排列，再种其它葵花有A5种排列。由
25分步计数原理得A4A5?1440。
25二、相邻问题捆绑法
例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得
522A5A2A2?480。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
2 分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有A5种排列。 三、相离问题插空法
例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？
5分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有A5种排列，第二步将4个
舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有A6种排列，由分步计数原理得
54A5A6?43200。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节
4 目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有A6种排列， 由分步计数原理得A6?30。
22四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法
例4、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？
分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：
7A7?840。 3A3 （空位法）设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有A7种坐法；甲、乙、丙坐
4其余的三个位置，共有1种坐法。总共有A7?840种排法。
4 思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）
（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有C7种选法；余下四个空座位让其余四人
34就坐，共有A4种坐法。总共有C7A4?840种排法。
43变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的
排法？
分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；
5现排成前后两排，因此共有C10?252种排法。
解排列组合问题常用方法（共8页）
1
五、平均分组问题倍除法（去重复法）
例5、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？
222分析：分三步取书有C6C4C2种分法，但存在重复计数。记6本书为ABCDEF，若第一步取AB，
222第二步取CD，第三步取EF，该分法记为?AB，CD，EF?，则在C6C4C2中还有?AB，CD，EF?、
?AB，CD，EF?、?AB，CD，EF?、?AB，CD，EF?、?AB，CD，EF?共A33种分法 ，而这些分
22C62C4C2法仅是?AB，CD，EF?一种分法。总共应有种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都3A3n是一种情况，分组后一定要除以An（n为均分的组数），避免重复计数。
变式5①、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种不同的分法？
544 分析：分三步。第一步取5个队为一组，有C13种分法；余下8个队平均分成两组，每组4个队，有C8C4种分法，但存在重复计数。记8个队为ABCDEFGH，若第二步取ABCD，第三步取EFGH，该分法
2244记为?ABCD，EFGH?，则在C8种分法，而这A2种分法是同一种分C4中还有?EFGH，ABCD?共A24C84C4法。总共应有C?种分法。 2A2变式5②、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不
513同的分组方法？
分析：㈠总的分组方法：分三步。第一步取4人为一组，有C10种分法；余下6个人平均分成两组，
33每组3个人，有C6但存在重复计数。记6个人为ABCDEF，若第二步取ABC，第三步取DEF，C3种分法，
433该分法记为?ABC，DEF?，则在C6C3中还有?DEF，ABC?共A2种分法，而这A2种分法是同一种分
2233C6C3法。总共应有C??2100种分法。 2A2 ㈡正、副班长同分在4人一组：分三步。第一步在8人中取2人，加上正、副班长共4人为一
233组，有C8种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有C6C3种分法，但存在重复计数。记6个人
41033为ABCDEF，若第二步取ABC，第三步取DEF，该分法记为?ABC，DEF?，则在C6C3中还有33C6C?DEF，ABC?共A种分法，而这A种分法是同一种分法。总共应有C?23?280种分法。
A2222228 ㈢正、副班长同分在3人一组：分三步。第一步在8人中取4人，有C8种分法；第二步在余下的4人中取3人，有C4种分法；第三步余下1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有
3C84C4?280种分法。
3333C6C32C6C33 ㈠减㈡减㈢得：总共有C??C8?2?C84C4?2100?280?280?1540种分法。 2A2A2变式5③、某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排种数为 。
22分析：分三步。前两步将转入的4名学生平均分成两组，每组2名学生，有C4C2种分法，但存在重
41034复计数。记4名学生为ABCD，若第一步取AB，第二步取CD，该分法记为?AB，CD?，则在C4C2中
22还有?CD，AB?共A2种分法，而这A2种分法是同一种分法。第三步将分成的两组分配到6个班级，有A62222C4C22种分法。总共应有?A6?90种分法。 2A2六、元素相同问题隔板法
例6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
2 解排列组合问题常用方法（共8页） 2
分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的3个名额分配给7个班。取7?1?6块相同隔板，连同3个相同名额排成一排，共9个位置。由隔板法知，
6在9个位置中任取6个位置排上隔板，有C9种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，6共有C9?84种分法。
变式6①、10个相同的球装入5个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？
分析：分两步。第一步：每盒先装入1个球，只有1种装法；第二步：将剩下的5个球装入5个盒中。取5?1?4块相同隔板，连同5个相同的球排成一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取4个
44位置排上隔板，有C9种排法。每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有C9 ?126种装法。变式6②、x?y?z?w?100，求这个方程的自然数解的组数。
分析：取4?1?3块相同隔板，连同100个相同的1排成一排，共103个位置。由隔板法知，在103个
33位置中任取3个位置排上隔板，有C103种排法。每一种插板方法对应一组数，共有C103?176851组数。 七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） 例7、从01，，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中取出三个，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？ 分析：直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三
312312个数字含有3个偶数的取法有C5，只含有1个偶数的取法有C5。淘C5，和为偶数的取法共有C5C5?C5汰和小于10的偶数共9种?0?2?4?、?0?2?6?、?0?1?3?、?0?1?5?、?0?1?7?、?0?1?9?、
123C5?C5?9。 ?2?1?3?、?2?1?5?、?4?1?3?，符合条件的取法共有C5变式7、一个班有43名同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?
5
分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有C40种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽
55法有C43种。 ?C40八、重排问题求幂法
例8、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？
分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有76种不同的分法。
变式8①、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新
节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。
分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定5个节目排后形成的六个空中，有6种插法；把第二个新节目插入前面6个节目排后形成的七个空中，有7种插法。由分步计数原理共有6?7?42种不同的插法。
变式8②、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？ 分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有7种下法，第二名乘客下电梯也有7种下法，依此类推，由分步计数原理共有78种不同的下法。
九、环（圆）排问题直排法
①环形排列问题：如果在圆周上m个不同的位置编上不同的号码，那么从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。
②环形排列数：
一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m个元素的环形排列对应着m个直线排列。
设从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N个，则对应的直线排列数为mN个。
mm又因为从n个元素中取出m个元素排成一排的排列数为An个，所以mN?An，即N?1mAn。 m③环形排列数公式：
解排列组合问题常用方法（共8页）
3
排列组合问题常用方法(二十种)
