专题25 圆的问题
专题知识回顾
一、与圆有关的概念与规律
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。
6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 10. 点和圆的位置关系：
① 点在圆内?点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上?点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外?点到圆心的距离大于半径
11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。
13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
14．圆内接四边形的特征： ①圆内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 15.直线与圆有3种位置关系：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
1
① 直线l和⊙O相交?d?r； ② 直线l和⊙O相切?d?r； ③ 直线l和⊙O相离?d?r。
16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。 17.切线的性质
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。
20．设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，两个圆的圆心距d?|O1O2|，则： 两圆外离 ?d?r1?r2； 两圆外切 ?d?r1?r2； 两圆相交 ?|r1?r2|?d?r1?r2； 两圆内切 ?d?|r1?r2|； 两圆内含 ?d?|r1?r2|
21.圆中几个关键元素之间的相互转化
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 22.与圆有关的公式 设圆的周长为r，则： （1）求圆的直径公式d=2r （2）求圆的周长公式 C=2πr （3）求圆的面积公式S=πr 二、解题要领 1.判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：
2
2
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2.与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019?山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．20°
【例题2】（2019?南京）如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．
3
【例题3】（2019?甘肃武威）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE＝2
，求⊙D的半径．
【例题4】（2019?江苏苏州）如图，AE为eO的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F. （1）求证：DO∥AC； （2）求证：DE?DA?DC2; （3）若tan?CAD?CEFAOB1，求sin?CDA的值. 2D
专题典型训练题
一、选择题
1．(2019甘肃陇南)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的
倍，则∠ASB的度数是（ ）
4
A．22.5°
2.（2019?山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）
上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连
B．30°
C．45°
D．60°
A．35°
B．38°
C．40° ＝
D．42°
3.（2019?广西贵港）如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
4.（2019?湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
5.（2019?山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
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【优选】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题25 圆的问题(学生版)
