专题25 圆的问题
专题知识回顾
一、与圆有关的概念与规律
1.圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。
2.圆的性质:(1)圆具有旋转不变性;(2)圆具有轴对称性;(3)圆具有中心对称性。 3.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
4.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
5.圆心角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。
6.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。
7.圆周角:顶点在圆周上,并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
8.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 9.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 10. 点和圆的位置关系:
① 点在圆内?点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上?点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外?点到圆心的距离大于半径
11. 过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。
12. 外接圆和外心:经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心,叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。
13.若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆。
14.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 15.直线与圆有3种位置关系:
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么
1
① 直线l和⊙O相交?d?r; ② 直线l和⊙O相切?d?r; ③ 直线l和⊙O相离?d?r。
16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。 17.切线的性质
(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
18.切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
19.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。
20.设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2,两个圆的圆心距d?|O1O2|,则: 两圆外离 ?d?r1?r2; 两圆外切 ?d?r1?r2; 两圆相交 ?|r1?r2|?d?r1?r2; 两圆内切 ?d?|r1?r2|; 两圆内含 ?d?|r1?r2|
21.圆中几个关键元素之间的相互转化
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 22.与圆有关的公式 设圆的周长为r,则: (1)求圆的直径公式d=2r (2)求圆的周长公式 C=2πr (3)求圆的面积公式S=πr 二、解题要领 1.判定切线的方法:
(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。常见手法有角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;
总而言之,要完成两个层次的证明:
2
2
①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2.与圆有关的计算:
计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有:
(1)构造思想:①构建矩形转化线段;②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);③构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;④构造勾股定理模型;⑤构造三角函数. (2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。
(3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
专题典型题考法及解析
【例题1】(2019?山东省滨州市)如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为( )
A.60°
B.50°
C.40°
D.20°
【例题2】(2019?南京)如图,PA.PB是⊙O的切线,A.B为切点,点C.D在⊙O上.若∠P=102°,则∠A+∠C= .
3
【例题3】(2019?甘肃武威)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E. (1)求证:AC是⊙D的切线; (2)若CE=2
,求⊙D的半径.
【例题4】(2019?江苏苏州)如图,AE为eO的直径,D是弧BC的中点BC与AD,OD分别交于点E,F. (1)求证:DO∥AC; (2)求证:DE?DA?DC2; (3)若tan?CAD?CEFAOB1,求sin?CDA的值. 2D
专题典型训练题
一、选择题
1.(2019甘肃陇南)如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的
倍,则∠ASB的度数是( )
4
A.22.5°
2.(2019?山东省聊城市)如图,BC是半圆O的直径,D,E是接OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为( )
上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连
B.30°
C.45°
D.60°
A.35°
B.38°
C.40° =
D.42°
3.(2019?广西贵港)如图,AD是⊙O的直径,,若∠AOB=40°,则圆周角∠BPC的度数是( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
4.(2019?湖北天门)如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是⊙O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED?BC=BO?BE.其中正确结论的个数有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
5.(2019?山东省德州市 )如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是( )
5
【优选】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题25 圆的问题(学生版)
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