2011考研数学一真题试卷
一选择题
1.曲线y?(x?1)(x?2)2(x?3)2(x?4)2拐点
A(1,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0) 2设数列?an?单调递减,limnnn??an?0,Sn??ak?1k(n?1,2,?)无界,则幂级数
?ak?1k(x?1)n的收敛域
A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数
f(x)具有二阶连续导数,且
f(x)?0,f?(0)?0,则函数
z?f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件
Af(0)?1,f??(0)?0 Bf(0)?1,f??(0)?0 Cf(0)?1,f??(0)?0 Df(0)?1,f??(0)?0 4.设I?????40lnsinxdx,J??40lncotxdx,K??40lncosxdx则I、J、K的大小关系是
A I 5.设A为3阶矩阵,将A的第二列加到第一列得矩阵B,再交换B ?100??100?????P?111,P2?001,1??????的第二行与第一行得单位矩阵。记?000???010??则 A= AP1P2 BP?11P2 CP2P1 DP?12P1 6.设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T是方程组Ax?0的一个基础解系,则A*x?0的基础解系可为 A?1,?3 B?1,?2 C?1,?2,?3 D?2,?3,?4 7.设F1(x),F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度函数,则必为概率密度的是 Af1(x)f2(x) B2f2(x)F2(x) Cf1(x)F2(x) Df1(x)F2(x)?f1(x),f2(x)是连续 f2(x)F1(x) 8.设随机变量X与Y相互独立,且EX与EY存在,记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题 9.曲线y??x0tantdt(0?x??4)的弧长s=____________ y(0)=0的解为y=____________ x?010.微分方程y??y?exy?xcosx满足条件 11.设函数F(x,y)??sint1?t20dt,则 2?F?x22?__________ 12.设L是柱面方程为x2?y?1与平面z=x+y的交线,从z轴正向往z ?xdy?y2轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分?xzdx13.若二次曲面的方程为x2?3y2?z2?2axy为y12?4z12?4,则a?_______________ 2dz?___________ ?2xz?2yz?4,经正交变换化 三解答题 (15求极限limx?0ln(1?x)x1)ex?1 f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导, ?z?x?yx?1,y?1216设z?其中函数f(xy,yg(x)), 且在x=1处取得极值g(1)=1,求17求方程karctan k为参数。 )?1nx?x?0不同实根的个数,其中 1n?1?ln(1?1n18证明:1)对任意正整数n,都有 2)设a19 n?1?12???1n?lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。 已知函数 Df(x,y)具有二阶连续偏导数,且 f(x,y)dxdy?a?f(1,y)=0,f(x,1)=0,??二重积分I?,其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1},计算 ??xy?Dxy(x,y)dxdy。 ?(1,3,5)T20.?1?(1,0,1)T,?2?3?(1,3,5)T?(0,1,1)T,?3不能由?1?(1,a,1)T,?2?(1,2,3)T, 线性表出,?求a;?将?1,?2,?3由?1,?2,?3线性表出。 21.A ?11???11?????为三阶实矩阵,R(A)?2,且A?00???00???11??11?????(1)求A的特征值与特征向量;(2)求A。 22. X P 0 1/3 Y P P(X21 2/3 -1 1/3 0 1/3 1 1/3 ?Y)?1 2求:(1)(X,Y)的分布;(2)Z=XY的分布;(3)?XY 23.设x1,x2,?xn为来自正态总体N(?知,?20,?)的简单随机样本,其中?02已 ?0未知,x2 _和S2分别表示样本均值和样本方差。 口21)求参数?的最大似然估计? 2)计算E(?)和D(?) 口2口2答案: CCABDDDB 填空题: 9.ln(1?2) 10y?e?xsinx 11 4 12? 13a?1 14?(?2??2) 1[1?(15解:原式=limx?0ln(1?x)?xxx1ln(1?x)?xx)ln(1?x)?x]ex?1limln(1?x)?xx(e?1)x1?x?11?ex?0?ex2?e2 16由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以g?(1)?0 ?z?x2?f1?[xy,yg(x)]y?f2?[xy,yg(x)]yg?(x)??(xy,yg(x)?g(x)f12??(xy,yg(x)]?f1?[xy,yg(x)]?y[xf11??(1,1)?f12??(1,1)?fx?(1,1)?f11?z?x?y?z?x?y2 17解: 令f(x)?karctanx?xf?(x)?k?1?x1?xlim22(1)当k?1?0,即k?1时,f?(x)?0(除去可能一点外又因为x???f?(x)?0),所以f(x)单调减少,f(x)???,limx???f(x)???,所以方程只有一个根。k?1,k?1)时,f?(x)?0;(2)当k?1?0,即k?1时,由f?(x)?0得x??当x?(??,?当x?(k?1)时,f?(x)?0,当x?(?k?1,k?1,??)时,f?(x)?0,k?1为极小点,?karctank?1?x?k?1为极大点k?1?k?1,2所以x??极小值为令 k?1?k?1?(1?t)arctant?t,k?1,极大值为karctank?1?t,当k?1时,t?0,令g(t)?karctan显然g(0)?0,因为g?(t)?2tarctant?0,所以g(t)?g(0)?0(当t?0),即karctank?1?k?1?0,极小值?karctank?1?0,x???k?1?k?1?0,极大值karctan又因为x???k?1?limf(x)???,limk?1,f(x)???,所以方程有三个根,分k?1,??)内。别位于(??,k?1)(,?k?1)及( 18证明: (1)f(x)?ln(1?x)在[0,0???1n,11?111??n1n]应用中值定理,ln(1?11?1n?111nn?ln(1?1n1n)?ln(1?1n1n)?ln1?111??n?1,即)?1(2)an?1?1?1/2???an?1?an?1n?1?ln(n?1)1n?1?1,n???n?1?ln(n?1)?lnn??其中an?1?an?0,an?1?an即?an?单调递减an?1?1/2???1111?ln(1?)?(1?)???ln(1?)?lnnn12nn?1nn?lnn ?ln2?ln3/2???ln?ln(n?1)?lnn?lnn?1?0。?an?单调递减有界,故收敛19.解: I???D??(x,y)dxdy?xyfxy?10xdx?10??(x,y)dyyfxy10?10??(x,y)dy?yfxy?101?(x,y)ydfx?(x,y)?yfxy??(x,y)dy?yfxy10??10fx?(x,y)dy,于是,I?10?10xdx1?0?10xfx?(x,1)dx?1100?10xdx?10yfx?(x,y)dy ?xf(x,1)??xdx0110?yfx?(x,y)dy???dy?xfx?(x,y)dx??[?xfx(x,y)0dy??10dy?fx(x,y)dx]?01?10dy?f(x,y)dx?01??Df(x,y)dxdy?a20解: 1011)??1,?2,?3?013?1?0115又??1,?2,?3不能由?1,?2,?3线性表示,?r(?1,?2,?3)?3,于是?1,?2,?3?0,解得a?5?1?2)(?1,?2,?3,?1,?2,?3)??0?1?0011131511231??1??3???0?05???0111131401221??1??3???0?64???01011311?11201??3?1???r(?1,?2,?3)?3?100210???1?2?1?4?2??3?????010420?于是??2??1?2?2?0?3?001?101????0??0???123???1
2011考研数学一真题(3页打印版,附答案5页)
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