2011考研数学一真题（3页打印版，附答案5页） 

2011考研数学一真题试卷

一选择题

1.曲线y?(x?1)(x?2)2(x?3)2(x?4)2拐点

A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0） 2设数列?an?单调递减，limnnn??an?0,Sn??ak?1k(n?1,2,?）无界，则幂级数

?ak?1k(x?1)n的收敛域

A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数

f(x)具有二阶连续导数，且

f(x)?0,f?(0)?0，则函数

z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件

Af(0)?1,f??(0)?0 Bf(0)?1,f??(0)?0 Cf(0)?1,f??(0)?0 Df(0)?1,f??(0)?0 4.设I?????40lnsinxdx,J??40lncotxdx,K??40lncosxdx则I、J、K的大小关系是

A I

5.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B

?100??100?????P?111,P2?001,1??????的第二行与第一行得单位矩阵。记?000???010??则

A= AP1P2 BP?11P2 CP2P1 DP?12P1

6.设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组Ax?0的一个基础解系，则A*x?0的基础解系可为

A?1,?3 B?1,?2 C?1,?2,?3 D?2,?3,?4

7.设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度函数，则必为概率密度的是

Af1(x)f2(x) B2f2(x)F2(x) Cf1(x)F2(x) Df1(x)F2(x)?f1(x),f2(x)是连续

f2(x)F1(x)

8.设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)=

A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题 9.曲线y??x0tantdt(0?x??4)的弧长s=____________

y(0)=0的解为y=____________

x?010.微分方程y??y?exy?xcosx满足条件

11.设函数F(x,y)??sint1?t20dt，则

2?F?x22?__________

12.设L是柱面方程为x2?y?1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z

?xdy?y2轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分?xzdx13.若二次曲面的方程为x2?3y2?z2?2axy为y12?4z12?4，则a?_______________

2dz?___________

?2xz?2yz?4，经正交变换化

三解答题

(15求极限limx?0ln(1?x)x1)ex?1

f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，

?z?x?yx?1,y?1216设z?其中函数f(xy,yg(x))，

且在x=1处取得极值g(1)=1,求17求方程karctan

k为参数。

)?1nx?x?0不同实根的个数，其中

1n?1?ln(1?1n18证明：1）对任意正整数n，都有

2）设a19

n?1?12???1n?lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。

已知函数

Df(x,y)具有二阶连续偏导数，且

f(x,y)dxdy?a?f(1,y)=0,f(x,1)=0,??二重积分I?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，计算

??xy?Dxy(x,y)dxdy。

?(1,3,5)T20.?1?(1,0,1)T，?2?3?(1,3,5)T?(0,1,1)T，?3不能由?1?(1,a,1)T，?2?(1,2,3)T，

线性表出，?求a；?将?1，?2，?3由?1，?2，?3线性表出。

21.A

?11???11?????为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00???11??11?????（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A。 22.

X P 0 1/3

Y P P(X21 2/3 -1 1/3 0 1/3 1 1/3 ?Y)?1

2求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）?XY 23.设x1,x2,?xn为来自正态总体N(?知，?20,?)的简单随机样本，其中?02已

?0未知，x2

_和S2分别表示样本均值和样本方差。

口21）求参数?的最大似然估计? 2）计算E(?)和D(?)

口2口2答案： CCABDDDB 填空题： 9.ln(1?2)

10y?e?xsinx 11 4 12? 13a?1 14?(?2??2)

1[1?(15解：原式=limx?0ln(1?x)?xxx1ln(1?x)?xx)ln(1?x)?x]ex?1limln(1?x)?xx(e?1)x1?x?11?ex?0?ex2?e2

16由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以g?(1)?0

?z?x2?f1?[xy,yg(x)]y?f2?[xy,yg(x)]yg?(x)??(xy,yg(x)?g(x)f12??(xy,yg(x)]?f1?[xy,yg(x)]?y[xf11??(1,1)?f12??(1,1)?fx?(1,1)?f11?z?x?y?z?x?y2

17解：

令f(x)?karctanx?xf?(x)?k?1?x1?xlim22(1)当k?1?0,即k?1时，f?(x)?0(除去可能一点外又因为x???f?(x)?0),所以f(x)单调减少，f(x)???,limx???f(x)???,所以方程只有一个根。k?1,k?1)时，f?(x)?0;（2）当k?1?0,即k?1时，由f?(x)?0得x??当x?(??,?当x?(k?1)时，f?(x)?0,当x?(?k?1,k?1,??)时，f?(x)?0，k?1为极小点，?karctank?1?x?k?1为极大点k?1?k?1,2所以x??极小值为令

k?1?k?1?(1?t)arctant?t,k?1,极大值为karctank?1?t,当k?1时，t?0,令g(t)?karctan显然g(0)?0,因为g?(t)?2tarctant?0,所以g(t)?g(0)?0(当t?0),即karctank?1?k?1?0,极小值?karctank?1?0,x???k?1?k?1?0,极大值karctan又因为x???k?1?limf(x)???,limk?1,f(x)???,所以方程有三个根，分k?1，??）内。别位于（??，k?1）（,?k?1)及（

18证明：

(1)f(x)?ln(1?x)在[0,0???1n,11?111??n1n]应用中值定理，ln(1?11?1n?111nn?ln(1?1n1n)?ln(1?1n1n)?ln1?111??n?1,即)?1(2)an?1?1?1/2???an?1?an?1n?1?ln(n?1)1n?1?1,n???n?1?ln(n?1)?lnn??其中an?1?an?0,an?1?an即?an?单调递减an?1?1/2???1111?ln(1?)?(1?)???ln(1?)?lnnn12nn?1nn?lnn

?ln2?ln3/2???ln?ln(n?1)?lnn?lnn?1?0。?an?单调递减有界，故收敛19.解：

I???D??(x,y)dxdy?xyfxy?10xdx?10??(x,y)dyyfxy10?10??(x,y)dy?yfxy?101?(x,y)ydfx?(x,y)?yfxy??(x,y)dy?yfxy10??10fx?(x,y)dy,于是，I?10?10xdx1?0?10xfx?(x,1)dx?1100?10xdx?10yfx?(x,y)dy

?xf(x,1)??xdx0110?yfx?(x,y)dy???dy?xfx?(x,y)dx??[?xfx(x,y)0dy??10dy?fx(x,y)dx]?01?10dy?f(x,y)dx?01??Df(x,y)dxdy?a20解：

1011)??1,?2,?3?013?1?0115又??1,?2,?3不能由?1，?2，?3线性表示，?r(?1，?2，?3)?3,于是?1，?2，?3?0，解得a?5?1?2)(?1,?2,?3,?1，?2，?3)??0?1?0011131511231??1??3???0?05???0111131401221??1??3???0?64???01011311?11201??3?1???r(?1,?2,?3)?3?100210???1?2?1?4?2??3?????010420?于是??2??1?2?2?0?3?001?101????0??0???123???1