习题十
1. 根据二重积分性质，比较??Dln(x?y)d?与??D[ln(x?y)]2d?的大小，其中：
（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.
解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有
图10-1
1?x?y?2
从而 故有
0?lnx(?y?)
lnx(?y?)2 [lxn?(y)])d???所以 ??Dlnx(?y?Dx[?lny(2? )]d（2）区域D如图10-2所示.显然，当(x,y)?D时，有x?y?3.
图10-2
从而 ln(x+y)>1 故有
lnx(?y?)2[lxn?(y
)]1
所以 ??Dlnx(?y?)d???Dx[?lny(2? )]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）I???D4?xyd?,D?{(x,y)|0?x?2,0?y?2};
（2）I???Dsin2xsin2yd?,D?{(x,y)|0?x?π,0?y?π}; （3）I???D(x2?4y2?9)d?,D?{(x,y)|x2?y2?4}. 解：（1）因为当(x,y)?D时，有0?x?2, 0?y?2
因而 0?xy?4.
从而
2?4?xy?2 2故 ??D2d????D4?xyd????D22d?
即
2??Dd????D4?xyd??22??Dd?
而 ??Dd??? （σ为区域D的面积），由σ=4 得
8???D4?xyd??82. (2) 因为0?sin2x?1,0?sin2y?1，从而
0?sin2xsin2y?1
故 ??D0d????Dsin2xsin2yd????D1d? 即0???Dsin2xsin2yd????Dd??? 而??π2
所以0???2Dsin2xsinyd??π2
（3）因为当(x,y)?D时，0?x2?y2?4所以
9?x2?4y2?9?4(x2?y2)?9?25
故 ??D9d????D(x2?4y2?9)d????D25d? 即 9????D(x2?4y2?9)d??25?
2
而
??π?22?4π
36π???(x2?4y2?9)d??100π
D所以
3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： （1）??D(a?（2）??Dx2?y2)d?,D?{(x,y)|x2?y2?a2};
a2?x2?y2d?,D?{(x,y)|x2?y2?a2}.
x2?y2)d?,在几何上表示以
解：（1）??D(a?D为底，以z轴为
轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以
??D(a?122x?y)?d?π33 a（2）??D（0，0，0）为圆心，a2?x2?y2d?在几何上表示以原点
a2?x2?y2d??23πa. 3以a为半径的上半球的体积，故??D4.
lim1r?0πr2设f(x，y)为连续函数，求
??Df(x,y)d?,D?{(x,y)|(x?x0)2?(y?y0)2?r2}.
解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，
?(?,?)?D,使得
??Df(x,y)d??f(?,?)???πr2?f(?,?)
又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，(?,?)?(x0,y0), 于是：r?0lim1πr2??Df(x,y)d??lim12?πrf(?,?)?limf(?,?)r?0πr2r?0
?limf(?,?)?f(x0,y0)(?,?)?(x0,y0)5. 画出积分区域，把??Df(x,y)d?化为累次积分： (1) (2)
D?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0};
D?{(x,y)|y?x?2,x?y2}
3
(3)
2D?{(x,y)|y?,y?2x,x?2}
x解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为
y?1?x?1?y,0?y?1.
所以??Df(x,y)d???0dy?y?111?yf(x,y)dx
(2) 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为
y2?x?y?2,?1?y?2.
10-4
所以??Df(x,y)d????1dy?y2y?22
图10-3 图
f(x,y)dx
x（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线y?2的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线y?2与x=2的交点为（2，1），
x区域D可表示为2?y?2x,x1?x?2.
图10-5
4
所以??Df(x,y)d???1dx?2x22xf(x,y)dy.
6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： (1) ?0dy?y22y2f(x,y)dx; (2)
?dx?1elnx0f(x,y)dy;
3?2y(3) ?0dy?y1f(x,y)dx; (4)
?π0dx?sinxx2?sin1f(x,y)dy;
2y(5) ?0dy?0f(x,y)dy??dy?133?y0f(x,y)dx.
解：（1）相应二重保健的积分区域为D：0?y?2,图10-6所示.
y2?x?2y.如
图10-6
D亦可表示为： 所以?0dy?y22y20?x?4,4xx?y?x .2f(x,y)dx??dx?xf(x,y)dy.
02(2) 相应二重积分的积分区域D：1?x?e,所示.
0?y?lnx.如图10-7
图10-7
D亦可表示为：
0?y?1,ye?x? e5
高等数学下册复旦大学出版社答案黄立宏著
