《高等数学》
专业 年级 学号 姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）
（ ）1. 收敛的数列必有界.
（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ ）5. 若f(x)在x0点可导，则f(x)也在x0点可导.
（ ）6. 若连续函数y?f(x)在x0点不可导，则曲线y?f(x)在(x0,f(x0))点没有切线.
（ ）7. 若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上连续.
（ ）8. 若z?f(x,y)在（x0,y0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z?f(x,y)在（x0,y0）处可微.
（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
（ ）10. 设偶函数f(x)在区间(?1,1)内具有二阶导数，且 f??(0)?f?(0)?1, 则
f(0)为f(x)的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1. 设f(x?1)?x，则f(x?1)? . 22. 若f(x)?2?12?11x1x，则lim?? .
x?03. 设单调可微函数f(x)的反函数为g(x), f(1)?3,f?(1)?2,f??(3)?6则
g?(3)? .
4. 设u?xy?x, 则du? . y1
5. 曲线x2?6y?y3在(?2,2)点切线的斜率为 . 6. 设f(x)为可导函数,f?(1)?1,F(x)?f(12x)?f(x),则F?(1)? .
7. 若
?f(x)0t2dt?x2(1?x),则f(2)? .
8. f(x)?x?2x在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分
????2x0edx? .
10. 设D为圆形区域x2?y2?1,??y1?x5dxdy? . D三、计算题（每题5分，共40分）
1. 计算lim11n??(n2?(n?1)2???1(2n)2). 2. 求y?(x?1)(x?2)2(x?3)3??(x?10)10在（0，+?）内的导数.
3. 求不定积分
?1x(1?x)dx.
4. 计算定积分
??30sinx?sin5xdx.
5. 求函数f(x,y)?x3?4x2?2xy?y2的极值. 6. 设平面区域D是由y?x,y?x围成，计算??sinyDydxdy. 7. 计算由曲线xy?1,xy?2,y?x,y?3x围成的平面图形在第一象限的面积.
8. 求微分方程y??y?2xy的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：arctanx?arcsinx1?x2 (???x???).
2
2. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)?0,
F(x)??xx10f(t)dt??bf(t)dt 证明：方程F(x)?0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√ ；2.× ；3.×； 4.× ；5.×； 6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.
二、 填空题.（每题2分，共20分）
1.x2?4x?4； 2. 1； 3. 1/2； 4.(y?1/y)dx?(x?x/y2)dy；5. 2/3 ； 6. 1 ； 7.
336 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：因为 n?1(2n)2?1n2?1(n?1)2?L?1n?1(2n)2?n2 且 limn?1n?n??(2n)2?0，lim1n??n2=0
由迫敛性定理知： lim1n??(n2?1(n?1)2???1(2n)2)=0 2.解：先求对数lny?ln(x?1)?2ln(x?2)??10ln(x?10)
?1yy??1x?1?2x?2???10x?10 ?y??(x?1)?(x?10)(1x?1?2x?2???10x?10) 3.解：原式=2?11?xdx
=2?1dx
1?(x)2 3
=2arcsin4.解：原式=
x?c
??0sin3xcos2xdx
?3 =
?22?30cosxsinxdx???cosxsin2xdx
2?33 =
?20sin2xdsinx????sin2xdsinx
25?5 =2[sin225x]0?25[sin2x]??
2 =4/5
5.解： fx2x??3?8x?2y?0 fy??2x?2y?0
故 ??x?0?y?0 或??x?2?y?2
当 ??x?0y?0时??(0,0)??8??(0,0)??2?fxx，fyy，fxy??(0,0)?2???(?8)?(?2)?22?0 且A=?8?0
? （0，0）为极大值点 且f(0,0)?0
当 ??x?22时??(2,2)?4， f??(2,2)??2，fxy??(2,2)?2?y?fxxyy???4?(?2)?22?0 ?无法判断
6.解：D=?(x,y)0?y?1,y2?x?y?
???sinydxdy?1ysiny1sinyDy?0dy?y2ydx=?0y[x]yy2dy 4
=
?10(siny?ysiny)dy
=[?cosy]10??10ydcosy
=1?cos1?[ycosy]10??10cosydy
=1?sin1 7.解：令u?xy，v?
y
x
；则1?u?2，1?v?3 1J?xuxvuv?u2vvyy?2uvvu?12v 2uv? A???d??231dv?ln3 D?1du?12v 8.解：令 y2?u，知(u)??2u?4x 由微分公式知：u?y2?e?2dx(??4xe??2dxdx?c)
?e2x(??4xe?2xdx?c)
?e2x(2xe?2x?e?2x?c)
四.证明题（每题10分，共20分）
1.解：设 f(x)?arctanx?arcsinx1?x2 22?f?(x)?111?x?x1?x2??1?x21?x21?x2=0 1?x2?f(x)?c ???x???
令x?0 ?f(0)?0?0?0?c?0 即：原式成立。 5
高等数学练习题（附答案）
