（1969年于捷克斯洛伐克的布尔诺）
【题1】右图的力学系统由三辆车组成，质量分别为mA＝0.3kg，mB＝0.2kg，mC＝1.5kg。 （a）沿水平方向作用于C车的力F很大。使A、B两车相对BC车保持静止。求力F及绳子的张力。 FCA （b）C车静止，求A、B两车的加速度及绳子的张力。
（忽略阻力和摩擦力，忽略滑轮和车轮的转动惯量）
解：（a）A、B两车相对C车保持静止，A车在竖直方向没有加速度，因此它对绳的拉力为mAg。这个力使B车得到加速度aB?mAg。又三车系统以相同的加速度运动，则： mB F?(mA?mB?mC)mAg mB2
由给定的数值得：aB＝aC＝aA＝1.5g＝14.7m/s 绳中的张力为：T＝mAg＝2.94N 水平推力为：F＝29.4N
（b）如果C车静止，则力mAg使质量mA＋mB加速，加速度为：
aAB?mAg＝0.6g＝5.88N
mA?mB/
绳中的张力为：T＝mAg－mA×0.6g＝1.176N
【题2】在质量为m1的铜量热器中装有质量为m2的水，共同的温度为t12；一块质量为m3、温度为t3的冰投入量热器中（如右图所示）。试求出在各种可m3c3t3能情形下的最终温度。计算中t3取负值。铜的比热c1＝
00
0.1kcal/kg·C，水的比热c2＝1kcal/kg·C，冰的比热c3＝
0
0.5kcal/kg·C，冰的熔解热L＝80kcal/kg。
m2c2t2解：可能存在三种不同的终态：（a）只有冰；（b）冰水共存；
m1c1t1（c）只有水。
（a）冰温度升高，但没有熔化，达到某一（负）温度ta； 放出的热量和吸收的热量相等：
c3 m3（ta－t3）＝（c1 m1＋c2 m2）（t12－ta）＋m2L 得出最终的温度为ta?(m1c1?m2c2)t12?m3c3t3?m2L （1）
m1c1?m2c3?m3c30
情况（a）的条件是ta＜０（注：指0C），如果上式的分子为负值，我们得到下列条件： （c1 m1＋c2 m2）t12＜―c3 m3t3―m2L （2）
（c）现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为tc，冰块吸收的热量等于量热器和水放出的热量：c3 m3（0－t3）＋m3 L＋c2 m3tc＝（c1 m1＋c2 m2）（t12－tc）
(mc?m2c2)t12?m3c3t3?m3L得出最终的温度为tc?11 （3）
m1c1?m2c2?m3c2这种情况只有在tc＞０时才能发生。取上式的分子为正值，得到下列条件： （c1 m1＋c2 m2）t12＞―c3 m3t3＋m3L （4）
0
（b）冰水共存这种情况是冰和水混合后都以0C共存于量热器中。根据（2）式和（4）
式，条件为：―c3 m3t3―m2L＜（c1 m1＋c2 m2）t12＜―c3 m3t3＋m3L
如果混合后有x克冰熔化了，则―c3 m3t3＋x L＝（c1 m1＋c2 m2）t12
(m1c1?m2c2)t12?m3c3t3
L于是混合后，在量热器中有质量为（m3―x）的冰和质量为（m2＋x）的水。x为负值意
故冰熔化了的质量为x?味着有水结为冰，冰的质量增加。对于给定的数值，我们可以从公式容易得到最终的结果。
【题3】在竖直平面内有半径R＝5cm的线圈（如图）。质量m＝1g的小球系在长度为l的绝缘轻绳上，从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球l-8
R两者都带有Q＝9×10C的相同电量时，发现小球在垂
Fn?直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。 ?解：如果线圈上的全部电荷集中与一点，则库仑力
FmgQ2为F?k2
l线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为，它们在轴上的投影为Fn＝Fcos。小球的重量为mg。由上图可得：sin??mg?R?mg
FlQ2k2l所以：l?3RkQ2922
＝7.2cm（k＝9×10N m/C） mgl（注：以上解答为原解，可能有错） R另解：如解答图3.3.1，在线圈上取一电荷微元，长为d ，电荷量为d ，为线电荷密度，2πR ＝Q。则微元电荷对小球的作用力为： Fi?k?Fni?FtiFi?dQl2
把Fi沿平行轴和垂直轴分解：Fni＝Fi cos 解答图 Fti＝Fi sin
FtiFi在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元，如解答图3.3.2。对称的电荷微元，长也为d ，电荷?量为d ，它对小球的作用力为：Fi?k/?dQl2
R?Fnil 把Fi沿平行轴和垂直轴分解：
Fn/i＝Fi /cos 解答图3.3.2 Ft/i＝Fi /sin
Fni与Fn/i方向相同，合力为大小相加，Fti与Ft/i方向相反，合力为大小相减，等于零。 所以线圈对小球作用的库仑力为：
RlTFn2??QQ2cos??k2cos? Fn＝∑Fni＝k2ll??对小球受力分析，小球受三力作用：重力mg、 库仑力Fn、拉力T，如解答图3.3.3。则：
mgF
Flcos??n 解答图3.3.3 Rmg
Q2RkQ2922把Fn＝k2cos?代入上式解得：l?3＝7.2cm （k＝9×10N m/C）
lmg【题4】一块平板玻璃放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的薄空
气隙。波长在0.4μm到1.15μm之间的电磁波垂直入射到平板上，经空气隙的两边表面反射而发生干涉。在此波段中只有两种波长获得极大的增强，
d其一是1＝0.4μm。求空气隙的厚度。
解：光在厚度为d的空气隙中往返，经过的距离为2d。光被玻璃反射
0
时，还经受180的相位改变。于是对波长为1的光，增强的条件为： 2d＝k1?1??12 （k1＝0，1，2，3，……）
类似地，对其它波长的光，产生极大增强的条件是： 2d＝k2?2??22 （k2＝0，1，2，3，……）
比较这两个条件，得到：
2k1?1?2?
2k2?1?1根据波长给定的范围，得到：
?21.15＝?2.875 ?10.4这个比值的最小可能值为1，最大可能值为2.875。因此我们得到关于k1和k2的下列条件：１＜
2k1?1＜2.875 （1）
2k2?1对不同的k1和k2，我们算出上述分数值，得到下表： k1 k2 0 1 2 3 4 5 0 1 0.33 0.2 0.14 0.11 0.09 1 3 1 0.6 0.43 0.33 0.27 2 5 1.67 1 0.71 0.56 0.45 3 7 2.33 1.4 1 0.78 0.64 4 9 3 1.8 1.29 1 0.81 5 11 3.67 2.2 1.57 1.22 1 只有分数值满足条件（１）式的各个k1和k2对才是合格的，我们已在表格中算出。但其中只有一对是允许的。这就是说，我们应当找出这样的一列，其中只能有一对是允许的k1和k2。从表中看出，仅有的是k1＝2，k2＝1这一对，其分数值是1.67，这就是解答。 对于k1＝0.4μm的光，根据2d＝2×0.4＋0.2＝1μm，得到空气隙的厚度为d＝0.5μm
由2×0.5＝?2??22
得到第二个波长为k2＝0.667μm
【实验题】给定一闭合电路，它是由已知电阻R、未知电阻X以及内阻可以忽略的电源组成的。电阻X是可调电阻器，由引线、毫米标尺、滑动接触块组成。另一电路由干电池和零点在中心的电流计组成，它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。试测定电阻X及端电压之比。
RUXxE
RUXyE
解答图3.5.1 解答图3.5.2
解答：联接两种补偿电路，如解答图3.5.1和解答图3.5.2。第一次测量不包括R。滑动接触块的位置在第一次测量中由比率x给出，在第二次测量中由y给出，在此两中测量下，电阻值之比等于电势差之比，所以有
ExXER?yX， ??UR?XUR?X1) x?y解得：X?R(把X?R(
1ExExX)代入??得： x?yU1?x?yUR?X历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第４届
（1970年于苏联的莫斯科）
【题1】如图4.1（a)、（b），在质量M＝1kg的木板上有质量m＝0.1kg的小雪橇。雪橇
上的马达牵引着一根绳子，使雪橇以速度v0＝0.1m/s运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数μ＝0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L＝0.5m。绳子拴在（a）远处的桩子，（b）木板的端面上。
试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面？
mLmLM?M? 图4.1（a） 图4.1（b）
解：（a）在第一种情形中（如图4.1（a）），雪橇处于匀速运动状态。 雪橇与木板以不同的速度运动。这样引起的最大摩擦力为mg，它作用在木板上，产生的加速度a?5.1s
22v0v0M?在这段时间内，雪橇的位移为S0?＝0.255m 2a2?mg?mgM，直至木板达到雪橇的速度v0为止。加速时间为t0?v0v0M?＝a?mg因此，雪橇离木板右端点的距离为0.5m－0.255m＝0.245m
雪橇不能达到木板的一端，因为这段时间以后，木板与雪橇以相同的速度v0一起运动。在木板加速期间，马达必须用力mg牵引绳子，但以后马达不能施加力的作用，它只是卷绳子。
（b）在第二种情形中（如图4.1（b）），木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个孤立系统，可以用动量守恒定律。当我们放开木板时，雪橇的动量为mv0，释放后的木板具有速度v2，它由下式决定： mv0＝M v2＋m（v0＋v2）
此式表明v2＝０，所以木板保持不动，雪橇以同一速度继续前进。
雪橇达到木板右端的时间为t?
【题2】NaCl的晶体点阵由边长为5.6×10cm的立方晶胞组成，它是面心立方点阵。钠原子量约为23，氯原子量为35.5，
3
NaCl密度为2.22g/cm。试计算氢原子的质量（如图4.2）。
解：我们先求出一个晶胞的Na离子
5.610-8cm数。在立方晶胞中心有一个离子，在立方晶胞的每一边也有一个离子，但后者仅有四分之一是属于这个晶胞的。
故钠离子数为：1?-8
L0.5?＝5 s v00.112?4 4氯离子也是这个数。密度可以表示为晶 图4.2
历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
