高一数学第一章集合与函数概念知识点总结
一、集合有关概念
1、集合的含义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性：元素的确定性 元素的互异性 元素的无序性 3、集合与元素的关系：属于与不属于关系
元素a与集合M的关系是a?M，或者a?M，两者必居其一. 4、集合的表示
列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“｛ ｝”括起来表集合的方法叫做列举法 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数集C
5、集合的分类：
(1) 有限集：含有有限个元素的集合 (2) 无限集：含有无限个元素的集合
2
(3) 空集：不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即若a∈A,则a∈B,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A?B,这时我们说集合A是集合B的子集. 注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?2．“相等”关系：元素相同则两集合相等 即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A③如果 AB, BC ,那么 AC ④如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
n
n
n
B(或BA)
? 有n个元素的集合，含有2个子集，2-1个真子集, 2-2个非空真子集。 三、集合的运算 运算交 集 类型 并 集 补 集 A是S的一个子集，由所有属于A且属于B的由所有属于集合A或属于集合设S是一个集合，定 元素所组成的集合,叫做B的元素所组成的集合，叫做由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集 A,B的交集．记作A?B（读A,B的并集．记作：A?B（读 记作CSA，即CSA={x|x?S,且x?A} 作‘A交B’），即AB=作‘A并B’），即AB ??义 ｛x|x?A，且x?B｝． ={x|x?A，或x?B})． 韦 恩 图 示 ABABS A A?A=A A?Φ=Φ 性 A?B=B?A A?B?A 质 A?B?B 图1图2A?A=A A?Φ=A A?B=B?A A?B?Ａ A?B?B (CuA) ? (CuB)= Cu (A?B) (CuA) ? (CuB)= Cu(A?B) A? (CuA)=U A? (CuA)= Φ． 二、函数的有关概念
1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：
A定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
B值域 : 先考虑其定义域
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且 ∈R的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 C区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 2、函数的表示法： 解析法、图像法和列表法 (1)分段函数
①在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 ②各部分的自变量的取值情况．
③分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 (2)映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足：
①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； ②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； ③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 三、函数的基本性质
1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 时，都有f(x1) 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ① 任取x1，x2∈D，且x1 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 3、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法 待定系数法 换元法 消参法 4、函数最大（小）值 ①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值②利用图象求函数的最大（小）值③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
高一数学必修1第一章知识点总结
