第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
[基础题组练]
1．下列命题是真命题的是( ) 11
A．若＝，则x＝y
xyB．若x＝1，则x＝1 D．若x＜y，则x＜y
2
2
2
C．若x＝y，则x＝y
112
解析：选A.由＝得x＝y，A正确；由x＝1得x＝±1，B错误；
xy由x＝y，x，y不一定有意义，C错误；由x＜y不一定能得到x＜y，如x＝－2，y＝－1，D错误，故选A.
2．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是( ) A．若x≤0，则x≤1 C．若x＞0，则x≤1
B．若x≤0，则x＞1 D．若x＜0，则x＜1
22
解析：选A.依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.
3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D.特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0?/ ab＞0；当
a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0?/ a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”
的既不充分也不必要条件．
4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0 A．[－1，0] B．(－1，0) C．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析：选A.由(x－a)[x－(a＋2)]≤0得a≤x≤a＋2， ??a＋2≥1要使“0 ?a≤0? 1≤a≤0. 5．(2020·杭州中学高三月考)已知a，b∈R，条件p：“a>b”，条件q：“2>2－1”，则p是q的( ) 1 abA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由条件p：“a>b”，再根据函数y＝2是增函数，可得2>2，所以2>2－1，故条件q：“2>2－1”成立，故充分性成立． 但由条件q：“2>2－1”成立，不能推出条件p：“a>b”成立，例如由2>2－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p是q的充分不必要条件，故选A. 6．已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( ) A．|a|＋|b|≥4 B．|a|≥4 C．|a|≥2且|b|≥2 D．b<－4 解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5. 7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ab0 0 xababab解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B. 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2Rsin A＞2Rsin B，即a＞b；若a＞b，则＞，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b” 2R2R的充要条件，故选C. 9．设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ab解析：选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A. 2 10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( ) A．p：x＝1，q：x＝x B．p：|a|>|b|，q：a>b C．p：x>a＋b，q：x>2ab D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d 解析：选D.A中，x＝1?x＝x，x＝x?x＝0或x＝1?＼ x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a>b，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a＋b≥2ab，由x>a＋b，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是a 11．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac＞bc，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________． 解析：原命题为真命题，故逆否命题为真； 逆命题：若a＞b，则ac＞bc为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2. 答案：2 12．函数f(x)＝x＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 解析：已知函数f(x)＝x－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 答案：m＝－2 13已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________． 解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}， 因为β：|x－1|<1，所以0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A，所以a≤0. 答案：(－∞，0] 14．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且 b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要， 既不充分也不必要)． 解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；又直线a， m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 3 15．若命题“ax－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知ax－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得 ?a<0，??解得－3≤a<0，故－3≤a≤0. 2?Δ＝4a＋12a≤0，? 2 2 答案：[－3，0] 16．已知p：?1－ ? ? x－1? ≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且﹁p是﹁q的必要而不充分条3?? 件，则实数m的取值范围为________． 解析：法一：由?1－ ?? x－1? ≤2，得－2≤x≤10， 3?? 所以﹁p对应的集合为{x|x>10或x<－2}， 设A＝{x|x>10或x<－2}． 1－m≤x≤1＋m(m>0)， 所以﹁q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}， 设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}． 因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，所以BA， m>0，?? 所以?1－m≤－2，且不能同时取得等号． ??1＋m≥10， 解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞)． 法二：因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件， 所以q是p的必要而不充分条件． 即p是q的充分而不必要条件， 因为q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 又由?1－ ?? x－1? ≤2，得－2≤x≤10， 3?? 所以p对应的集合为{x|－2≤x≤10}， 设N＝{x|－2≤x≤10}． 由p是q的充分而不必要条件知NM， m>0，?? 所以?1－m≤－2，且不能同时取等号，解得m≥9. ??1＋m≥10， 所以实数m的取值范围为[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞) 17．给出下列命题： 4 ①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件； ②“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件； ③“函数f(x)＝cosax－sinax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件； ④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上) 解析：①因为“a＝3”可以推出“A?B”，但“A?B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正2π22 确；③f(x)＝cosax－sinax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则＝π?a＝±1，因此 2|a|“函数f(x)＝cosax－sinax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②. 答案：①② [综合题组练] π?π1?1．设θ∈R，则“?θ－?<”是“sin θ<”的( ) 12?122?A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 π?πππππ?解析：选A.因为?θ－?＜?－＜θ－＜?0＜θ＜， 12?121212126?7ππ?1?sin θ＜?θ∈?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z， 66?2? 2 22 2 ?0，π??2kπ－7π，2kπ＋π?，k∈Z， ????6??66?? π?π1?所以“?θ－?＜”是“sin θ＜”的充分而不必要条件． 12?122? ??1x? 2．已知集合A＝?x?<2<8，x∈R?，B＝{x|－1 ??2? 分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． ??1x? 解析：因为A＝?x?<2<8，x∈R?＝{x|－1 ??2? x∈A， 5
浙江专用2020年新高考数学一轮复习第2讲命题及其关系充分条件与必要条件高效演练分层突破
