第三节
函数的单调性与最值
[知识能否忆起]
一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，定义 x2 当x1 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 二、函数的最值 前提 条件 结论 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y＝x＋1 1C．y＝ x B．y＝－x3 D．y＝x|x| 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最大值 ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最小值 自左向右看图象逐渐下降 当x1 2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) 1A．k> 2 1B．k< 2 1 1 1 C．k>－ 2 1 D．k<－ 2 解析：选D 函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数， 1 则2k＋1<0，即k<－. 2 1 3．(教材习题改编)函数f(x)＝的最大值是( ) 1－x?1－x? 4A. 53C. 4 5B. 44D. 3 13314x－?2＋≥，∴0<解析：选D ∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝?≤. ?2?441－x?1－x?3 4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________. 解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案：[1,4] 8 ?1?? x的取值范围是______． 解析：由题意知f(m)>f(n)； ?1?>1，即|x|<1，且x≠0. ?x? 故－1 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． [注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 2 2 函数单调性的判断 典题导入 1 [例1] 证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数． x [自主解答] 设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x1 则f(x1)＝2x1－，f(x2)＝2x2－， x1x2112x1－?－?2x2－? f(x1)－f(x2)＝?x??x?? 1 2 11? ＝2(x1－x2)＋??x－x? 2 1 1? 2＋＝(x1－x2)??x1x2? 1 由于x1 x1x2因此f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1) 故f(x)在(－∞，0)上是增函数． 由题悟法 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明； (2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 以题试法 －2x1．判断函数g(x)＝在 (1，＋∞)上的单调性． x－1解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1 则g(x1)－g(x2)＝－ x1－1x2－1＝ 2?x1－x2? ， ?x1－1??x2－1? 由于1 所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0， 因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1) 求函数的单调区间 3 3
总复习教案：函数的单调性与最值(教师版)
