检测七 立体几何与空间向量
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．下列说法正确的是( )
A．空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上B．空间中，三角形、四边形都一定是平面图形C．空间中，正方体、长方体、四面体都是四棱柱
D．用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台答案 A
解析 空间四边形不是平面图形，故B错；四面体不是四棱柱，故C错；平行于底面的平面去截棱台，底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台，故D错；根据公理2可知A正确，故选A.
2．(2020·南昌模拟)已知平面α内一条直线l及平面β，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )A．充要条件 C．必要不充分条件 答案 B
解析 由题意，根据直线与平面垂直的判定定理，可得由“l⊥β，l?α”可证得“α⊥β”，即充分性是成立的；反之由“α⊥β，l?α”不一定得到“l⊥β”，即必要性不成立，所以“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．
3．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( )A．4πS C．πS 答案 A
解析 由πr2＝S得圆柱的底面半径是
S，πSB．2πS23D.πS3
B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
故侧面展开图的边长为2π·
＝2πS，所以圆柱的侧面积是4πS.π
4．若平面α与β的法向量分别是a＝(2,4，－3)，b＝(－1,2,2)，则平面α与β的位置关系是( )A．平行 C．相交但不垂直
B．垂直D．无法确定
答案 B
解析 因为a·b＝(2,4，－3)·(－1,2,2)＝0，所以a⊥b，所以平面α⊥β.
5．(2020·广州模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图所示)，则四棱锥M－EFGH的体积为( )
A.
111 B. C. D.12423
1
答案 A
解析 因为E，F，G，H分别为各个面的中心，显然E，F，G，H四点共面，截面如图所示．
显然四边形EFGH为正方形，且边长为所以S正方形EFGH＝
22×1
＝.22222
，
另外易知点M到平面EFGH的距离为正方体棱长的一半，1
即四棱锥M－EFGH的高为，
2
1111
所以四棱锥M－EFGH的体积V＝××＝.
32212
6．(2020·沈阳期末)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为( )
A．33 B．62 C.答案 A
解析 如图所示，F，G，H是对应棱的中点．
32 D.2易知，RF与HQ相交，确定一个平面．HQ∥RG，故G在平面内，同理P在平面内．
故平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR，边长为2，1π
S＝×2×2sin ×6＝33.23
7．(2019·湖南师大附中月考)如图所示，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为( )
A．2 B.答案 D
2＋6 C．2＋2 D.2＋22
解析 将△ABA1翻折到与四边形A1BCD1同一平面内，AP＋D1P的最小值为D1A，在△D1AA13π
中A1D1＝1，AA1＝1，∠AA1D1＝，由余弦定理可得AD1＝2＋2，故选D.
4
8．(2020·泸州诊断)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形，AB＝3，PA＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为( )
A．4π B．16π C．8π D．32π答案 B
解析 由题意得三棱锥P－ABC的外接球球心在过△ABC的中心O1且垂直于平面ABC的直线上，设为点O，球半径设为R，则OO1＝
PA
＝1，AO1＝3，2
∴R＝1＋3＝2，从而外接球的表面积为4πR2＝16π.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
2021新高考版大一轮复习用书数学第七章 检测七
