2021年高考数学艺术生百分冲刺第四讲 不等式（Word无答案） - 图文

第四讲 不等式

会解一元二次不等式，分式高次不等式；会用基本不等式求最值。 一、不等式的概念和性质 1.不等式的定义

用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. 2.两个实数比较大小的方法

(1)作差法{?????>0???>??

?????=0???=??(??,?? ∈??)

????

? ??>??1????

??=1???=??(??∈??,??>0)

{??

??<1???

3.不等式的性质

(1)对称性：??>???????，??>?????>??； (3)可加性：??>?????+??>??+??， 推论：??>??，??>?????+??>??+??； (4)可乘性：??>??，??>0?????>????， 推论：??>??>0，??>??>0?????>????； (5)可乘方：??>??>0?????>????

(??∈??，??≥1)；

(6)可开方：??>??>0???

√??>??√?? (??∈??，??≥2). 二、一元二次不等式的解法

1.补充：初高中衔接内容，因式分解： （1）公式法：

①平方差公式 ??2???2=(??+??)(?????)； ②完全平方公式??2±2????+??2=(??±??)2. ③立方和公式：??3+??3=(??+??)(??2?????+??2) ④立方差公式：??3???3=(?????)(??2+????+??2) (2)十字相乘法

??2+(??+??)??+????=(??+??)(??+??)，例子： ①??2?6??+8 ②6??2+???2 ?? ?2 2?? ?1 ?? ?4 3?? 2 ( ?2)??+(?4)??=?6?? 2???2+3???(?1)=?? ∴ =(???2)(???4) ∴ =(2???1)(3??+2) 2．一元二次不等式的一般形式。

????2+????+??>0(??≠0) 或者<0,≥0,≤0.

3．三个二次之间的关系

设??(??)=????2+????+??(??>0),Δ=??2?4???? 当Δ≥0 时，??(??)=0的两根为： ??21=

????√???4????

2??

. ??2=

???+√??2?4????

2??

.

判别式 ??>0 ??＝0 ??<0 函数??=??(??) 的图象 ??(??)=0 有两相异实根 有两相等实根 没有实根 ??(??)>0 (?∞,??1)(?∞,??1)∪(?? ∪(???? 2,+∞)1,+∞) ??(??)<0 (??1,??2) ? ? 三、高次不等式和分式不等式的解法。 1.高次不等式解法

①化简：移项右边化为0，左边因式分解。 注意：每个因式的最高次数项系数化为正。 ②标根：在数轴上标出各因式的根。

注意：等号成立标为实点，否则标为虚点。 ③穿根：自右至左，自上而下穿线。 注意：偶次根不穿透，奇次根穿透。

④解集：数轴上方曲线对应区域“>0”成立。数轴下方曲线对应区域“<0”成立。 2.分式不等式解法

①化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为??(??)

??(??)的形式． ②将分式不等式转化为整式不等式求解。 四、基本不等式

1.基本不等式：√????≤??+??

2

①不等式成立条件：( ??>0，??>0).

②等号成立条件：当且仅当??＝??时取等号. 2.变形：

①??+??≥2√???? 积????定，和??+??有最小值. ②????≤(

??+??)22

和??+??定，积????有最大

值. 注：运用上述变形需“一正，二定，三相等” 3.几个重要的不等式 (1)??2+??2≥2????(??，??∈??). (2)??

??

??+??≥2 (??，??同号). (3)

??2+??22≥(??+??)22

(??，??∈??).

(4)??2+??2+??2≥????+????+????

考点一 不等式的性质及比较大小

例1 （1）如果a

<1

??

?? B．ab

C．－ab<－a2 D．?1

1

??

(2)“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（3）比较a＋ma

b＋m与b(其中实数b＞a＞0，实

数m＞0)的大小．

(4)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________．

(5)设f(x)＝ax2＋bx，且

1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

【变式训练】

1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )

A．1a＜1

b B．a2＞b2

C．ab

c2＋1＞c2＋1

D．a|c|＞b|c|

2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，x∈R，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)＞g(x) B．f(x)≥g(x) C．f(x)＝g(x) D．f(x)＜g(x)

4.已知a＝27，b＝6＋22，则a，b的大小关系是a________b.

5.若角α，β满足－ππ

2<α<β<2

，则α－β的取

值范围是________．

6.已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围．

考点二 基本不等式

例2 (1)下列不等式一定成立的是( )

A．lg??

x2＋1

4??>lgx(x>0) B．sinx＋1

sinx

≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.1

x2＋1

>1(x∈R) (2)已知0＜x＜4

3

，求x(4－3x)的最大值；

(3)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．

【变式训练】

7.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )

A．6 B．42 C．22 D．26

8.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( ) A．a＜v＜ab B．v＝ab

C．ab＜v＜a＋b2 D．v＝a＋b

2

9.下列函数中，最小值为4的是________．

①y＝x＋4x； ②y＝sinx＋4

sinx(0＜x＜π)；

③y＝4ex＋e－

x；④y＝log3x＋logx3(0＜x＜1)．10.点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是 ．

考点三 一元二次不等式的解法

例3 解下列不等式：

(1)x2－7x＋12＞0; (2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1＜0; (4)x2－2x＋2＞0. (5) (??+4)(??+5)2(2???)3<0

(6) x－12x＋1

≤1.

【变式训练】

11.不等式??(2???)>0的解集是( ) ??.(?∞,0) ??.(0,2) ??.(?∞,0)∪(2,+∞) ??.(2,+∞) 12.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，

B＝??x－2??x|

x≤0??

，则A∩B＝( )

A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}

13.若0＜a＜1，则不等式(x－a)??x－1

a??＜0的解是( )

A．a＜x＜1a B．1

a＜x＜a

C．x＞1a或x＜a D．x＜1

a

或x＞a

14.不等式x－2

x2＋3x＋2＞0的解集是

考点四 一元二次不等式的应用

例4 (1)已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值． (2) 解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.

【变式训练】

15.已知不等式????2+????+??＞0的解集为{??|20的解集．

16.解关于x的不等式??2?(??+1)??+??<0．

过关检测七

1．给出下列命题： ①若a＞b，则ac2＞bc2；

②若a＞b，则11

a＜b

；

③若a，b是非零实数，且a＜b，则11

ab2＜a2b；

④若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2.

其中正确的命题是_____．(填对应序号即可)

2．设a∈R，则a＞1是1

a＜1的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知a，b∈R＋，A＝a3＋b3，B＝a2b＋b2a，则A，B的大小关系为( ) A．A≥B B．A

C．A≤B D．与a，b的大小有关 4.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )

A．1

2

B．1 C．2 D．4

5．若a＞1，则a＋1

a－1

的最小值是( )

A．2 B．a C．3 D.2a

a－1

6.若角α，β满足－π2<α<β<π

2

，则2α－β的取

值范围是________．

7．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝14

a＋

b

的最小值是________．

8．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

过关检测八

1.不等式??2+???2<0的解集为 。

2.不等式x－1

2x＋1≤0的解集为( )

A.(?1

,1) B.(?∞,?1

)∪[1,+∞) C.[?1

2

1

22,1] D.(?∞,?2]∪[1,+∞) 3.已知集合M={?1,0,1,2,3},

??={??|(???1)2<4,??∈??},则??∩N= ??.{0,1,2} ??.{?1,0,1,2} ??.{?1,0,2,3} ??.{0,1,2,3}4.函数??=1

√6??????2的定义域是 。 5.??2?????+??>0的解集为{??|??<2或??>3}，则??+??的值是( )

A.1 B.-1 C.11 D.12 6.若关于??的不等式????2+2??+2>0在??上恒成立，则实数??的取值范围为 . 7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )

A.[15，20] B.[12，25] C.[10，30] D.[20，30] 8．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，求实数a的取值范围．