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第七章 第7节（理） 第一课时
[基础训练组]
1．(
导
学
号
14577704)若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则( )
A．l∥α或l?α C．l?α
B．l⊥α D．l与α斜交
解析：A [由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l?α.故选A.] 2．(导学号14577705)若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( ) A．α∥β
C．α，β相交但不垂直
B．α⊥β
D．以上均不正确
解析：C [∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直．] 3．(导学号β，则k等于( )
A．2 C．4
解析：C [因为α∥β，所以4．(
B．－4 D．－2
12－2
＝＝，所以k＝4.] －2－4k
导
学
号
14577706)设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥
14577707)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是( )
A．平行 C．异面垂直
B．相交 D．异面不垂直
→
解析：C [建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，NO＝→→→
(－1,0，－2)，AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．]
→→→→→
5．(导学号14577708)已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
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33154015A.，－，4B.，－，4 777740
C.，－2,4 7
40
D．4，，－15
7
→→→→
解析：B [∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4. BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC， →
又BC＝(3,1,4)，则错误!解得错误!]
6．(导学号14577709)已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝ ________.
解析：由α⊥β知a·b＝0，即x＋1×(－2)＋2×3＝0，解得x＝－4. 答案：－4 7．(
导
学
号
14577710)在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________.
解析：由题意知，点Q即为点P在平面yOz内的射影， 所以垂足Q的坐标为(0，2，3)． 答案：(0，2，3) 8．(
导
学
号
14577711)(2018·
武
汉
市
调
研)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.
解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， →由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z， →由m·AC＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案：α∥β 9．(
导
学
号
14577712)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC
∠
B＝
⊥∠
平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，
C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD.
证明：(1)以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
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∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°，
∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)， M?
3?2
，0，32??，
∴DP→＝(0，－1,2)，DA→
＝(23，3,0)， CM→
＝?3?2
，0，32??.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， ??DP→·n＝0，?－y＋2z＝0，
由?即??DA→?·
n＝0，
?23x＋3y＝0，
令y＝2，得n＝(－3，2,1)．
∴n·CM→＝－3×332＋2×0＋1×2＝0，
∴n⊥CM→
.又CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD.
(2)如图，取AP的中点E，连接BE，
则E(3，2,1)，BE→
＝(－3，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE→⊥DA→
，∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD. 又∵BE?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 10．(
导
学
号
2019届高三人教A版数学一轮复习练习：第七章 立体几何与空间向量 第7节 第一课时 Word版含解析
