则a－b＋c的最小值是－6，最大值是4，B错误，D错误，故选A. 答案 A 二、填空题
?x＋2x，x≥0，?
7.已知函数f(x)＝?则不等式f(x)＞3的解集为________. 2
?－x＋2x，x＜0，?
???x≥0，?x＜0，
解析 由题意知?2或?解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}. 2
?x＋2x＞3??－x＋2x＞3，?
2
答案 {x|x＞1}
1?4?2
8.若关于x的不等式ax＞b的解集为?－∞，?，则关于x的不等式ax＋bx－a＞0的解集为
5?5?________.
1?b14?2
解析 由已知ax＞b的解集为?－∞，?，可知a＜0，且＝，将不等式ax＋bx－a＞0两边
5?a55?
b41444222
同除以a得x＋x－＜0，即x＋x－＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax＋bx－a＞0的解
a55555
4??集为?－1，?. 5??4??答案 ?－1，? 5
??
9.不等式a＋8b≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________. 解析 因为a＋8b≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a＋8b－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a－λba＋(8－λ)b≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得
2
2
2
2
2
2
22
Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8，4]
10.若关于x的不等式(x－a)·(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则2a＋b的最小值为________. 解析 要使2a＋b取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况.因此当a 2 －a)(2x＋b)≥0等价于2x＋b≥0，即b≥－2x在(a，b)上恒成立，则b≥－2a>0，与b≤0矛盾；当a<0 2 答案 0 三、解答题 11.已知f(x)＝－3x＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)＞0； (2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值. 解 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a＋6a＋3＞0，即a－6a－3＜0，解得3－23＜a＜3＋23. 所以不等式的解集为{a|3－23＜a＜3＋23}. (2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， 2 2 2 2 a（6－a） （－1）＋3＝，?3??a＝3±3，∴?解得? 6－bb＝－3.?（－1）×3＝－，?3? 即a的值为3±3，b的值为－3. 12.已知－1 m＝－，??2??m＋n＝2， 所以?所以? ?m－n＝－3，5? ??n＝2，11 由－1 22515 由2 22 15 ①＋②得3<－(x＋y)＋(x－y)<8，即3 22 能力提升题组 ??12 13.(一题多解)已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为?x|x<或x>3?， 2?? 则f(e)>0(e是自然对数的底数)的解集是( ) A.{x|x<－ln 2或x>ln 3} B.{x|ln 2 xC.{x|x ?1??x1?xx解析 法一 依题意可得f(x)＝a?x－?(x－3)(a<0)，则f(e)＝a?e－?(e－3)(a<0)，由 2??2?? f(ex)＝a?e－?(ex－3)>0，可得 2 ?? x1? ? 12 ?1?1x法二 由题知f(x)>0的解集为?x| 2?2? 答案 D 14.(2019·杭州三校三联)已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c有零点，且a＋b＋c＝1，则max{min{a，b，c}}＝( ) 1 A. 21C. 4 1B. 31D. 6 2 解析 当a，b，c中至少有一个小于等于0，且a≠0时，min{a，b，c}≤0；当a，b，c均大于0时，当a≥c时，因为函数f(x)＝ax＋bx＋c有零点，所以b－4ac≥0，即b≥4ac≥4c，1 所以b≥2c，则此时min{a，b，c}＝c，且1＝a＋b＋c≥c＋2c＋c，解得c≤，即min{a，b， 4 2 2 2 2 c}＝c≤；同理，当a＜c时，min{a，b，c}＝a＜.综上所述，max{min{a，b，c}}＝，故 选C. 答案 C 32 15.若关于x的不等式a≤x－3x＋4≤b的解集恰好是[a，b]，则a＝________，b＝________. 43232 解析 令f(x)＝x－3x＋4＝(x－2)＋1，其图象对称轴为x＝2.若a≥2，则a，b是方程 44 1 41414 f(x)＝x的两个实根，解得a＝，b＝4，矛盾； 84 若b≤2，则f(a)＝b，f(b)＝a，两式相减得a＋b＝，代入可得a＝b＝，矛盾； 33若a<2 ??f（a）＝4， 解得b＝4，由?解得a＝0. ?a<2? ??f（b）＝b，??b>2 4 3 答案 0 4 16.(2019·浙江新高考仿真卷三)若实数x，y满足x＋4y＋4xy＋4xy＝32，则x＋2y的最小值为________，7(x＋2y)＋2xy的最大值为________. 解析 因为x＋4y＋4xy＋4xy＝32，所以(x＋2y)＋4xy＝32，则(x＋2y)≤32，－42≤x＋2y≤4 2，即x＋2y的最小值为－4 2.由(x＋2y)＋4xy＝32，不妨设 2 22 2 2 22 2 22 2 2222 ?x＋2y＝42sin θ， 则7(x＋2y)＋2xy＝42(7sin θ＋cos θ)＝16sin(θ＋φ)，其中? ?2xy＝42cos θ， tan φ＝ 7 ，所以当sin(θ＋φ)＝1时，7(x＋2y)＋2xy取得最大值16. 7 答案 －42 16 17.解关于x的不等式ax－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R). 解 原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0. 2 ?1?(1)当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)?x－?＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价 ? a? 11?1??1?于(x－2)·?x－?＜0.因为方程(x－2)?x－?＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时， a2?a??a? ?1?11 2＜，则原不等式的解集是?x|2＜x＜?；当a＝时，原不等式的解集是?； a?a2???1?11 当a＞时，＜2，则原不等式的解集是?x?＜x＜2?. 2a??a? (2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2， 即原不等式的解集是{x|x＞2}. ?1?(3)当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)?x－?＜0， ? a? ?1?根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·?x－?＞0， ? a? ???11 由于＜2，故原不等式的解集是?x?x＜或x＞2?. a? ? a? ???1 综上所述，当a＜0时，不等式的解集为?x?x＜或x＞2?； ? ? a? ??1?11 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜时，不等式的解集为?x?2＜x＜?；当a＝ a?22????1?1 ??. ＜x＜2时，不等式的解集为?；当a＞时，不等式的解集为x? 2??a? 18.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3). (1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围. 解 (1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1，3)， f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0， 因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax－(2＋4a)x＋3a.① 由方程f(x)＋6a＝0， 得ax－(2＋4a)x＋9a＝0.② 因为方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a)]－4a·9a＝0， 12 即5a－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－. 51 由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①， 51263 得f(x)＝－x－x－. 555 2 2 2 ?1＋2a?－a＋4a＋1及a<0，可得f(x)的最大值为－ (2)由f(x)＝ax－2(1＋2a)x＋3a＝a?x－ a?a?? 2 2 2 a2＋4a＋1 . aa2＋4a＋1??－>0， a由? ??a<0， 解得a<－2－3或－2＋3 故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).
浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第1节不等关系与不等式一元二次不等式及其解法含解析
