2
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
aa22
当＜－1，即－2 a综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； ??2 当a＞0时，不等式的解集为?x|x≥，或x≤－1?； ? a? ??2? 当－2＜a＜0时，不等式的解集为?x?≤x≤－1?； ? ?a? 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； ?2? 当a＜－2时，不等式的解集为?x|－1≤x≤?. ? a? 规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集. 【训练2】 (1)(角度1)(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x＋x－2<0成立的x的取值范围为________. (2)已知不等式x－2x－3＜0的解集为A，不等式x＋x－6<0的解集为B，不等式x＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b＝( ) A.－3 C.－1 B.1 D.3 2 2 2 2 22 解析 (1)3x＋x－2<0变形为(x＋1)(3x－2)<0，解得－1 32??范围为?－1，?. 3?? (2)由题意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由题意知－1，2为方程x＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可知a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3. 2??答案 (1)?－1，? (2)A 3?? 考点三 一元二次不等式的恒成立问题 多维探究 2 角度1 在R上恒成立 32 【例3－1】 若一元二次不等式2kx＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( ) 8A.(－3，0] C.[－3，0] B.[－3，0) D.(－3，0) 32 解析 2kx＋kx－＜0对一切实数x都成立， 82k＜0，?? 则必有??－3?＜0， 2 Δ＝k－4×2k×?8?????解之得－3＜k＜0. 答案 D 角度2 在给定区间上恒成立 【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝mx－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________. 解析 要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立， 则mx－mx＋m－6＜0， 2 2 ?1?3 即m?x－?＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立. ?2?4 有以下两种方法： 2 ?1?3 法一 令g(x)＝m?x－?＋m－6，x∈[1，3]. ?2?4 当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 66 所以m＜，则0＜m＜. 77 当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0. ???6 综上所述，m的取值范围是?m?0＜m＜或m＜0?. 7??? 2 1?3?x－法二 因为x－x＋1＝?＋＞0， ??2?4 2 2 又因为m(x－x＋1)－6＜0，所以m＜因为函数y＝ 6 ＝ x－x＋1 2 2 6 . x－x＋1 2 66 在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可. 277?x－1?＋3?2?4?? 6 因为m≠0，所以m的取值范围是 ??6 ?m|0＜m＜或m＜0?. 7????6?? m|0＜m＜或m＜0答案 7?? 角度3 给定参数范围的恒成立问题 【例3－3】 已知a∈[－1，1]时，不等式x＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(1，3) 2 2 解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立， 所以f(－1)＝x－5x＋6＞0， ??x－5x＋6＞0， 且f(1)＝x－3x＋2＞0即可，解不等式组?2得x＜1或x＞3. ??x－3x＋2＞0， 2 2 2 答案 C 规律方法 恒成立问题求解思路 (1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解. (2)一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围. (3)一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围就选谁当主元，求谁的范围谁就是参数. 【训练3】 (1)(角度1)若不等式x－2x＋5≥a－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是( ) A.[－1，4] C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) 2 2 2 B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) D.[－2，5] (2)(角度2)已知函数f(x)＝x＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则 实数m的取值范围是________. 解析 (1)由于x－2x＋5＝(x－1)＋4的最小值为4，所以x－2x＋5≥a－3a对任意实数x恒成立，只需a－3a≤4，解得－1≤a≤4. (2)二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]， 都有f(x)＜0成立， ??f（m）＝m＋m－1＜0，则? 2 ?f（m＋1）＝（m＋1）＋m（m＋1）－1＜0，? 2 222 2 2 2 解得－ 2 ＜m＜0. 2 答案 (1)A (2)?－ ??2?，0? 2? 基础巩固题组 一、选择题 1.若f(x)＝3x－x＋1，g(x)＝2x＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( ) A.f(x)＝g(x) C.f(x)＜g(x) 2 2 2 2 B.f(x)＞g(x) D.随x的值变化而变化 解析 f(x)－g(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1＞0?f(x)＞g(x). 答案 B 11 2.已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立的ab有( ) A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 11 解析 运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③ ab错误，故选C. 答案 C 3.若集合A＝{x|3＋2x－x>0}，集合B＝{x|2<2}，则 2 xA∩B等于( ) A.(1，3) C.(－1，1) B.(－∞，－1) D.(－3，1) 解析 依题意，可求得A＝(－1，3)，B＝(－∞，1)， ∴A∩B＝(－1，1). 答案 C 4.若集合A＝{x|ax－ax＋1＜0}＝，则实数a的取值范围是( ) A.{a|0＜a＜4} C.{a|0＜a≤4} 解析 由题意知a＝0时，满足条件. ?a＞0，? a≠0时，由?得0＜a≤4，所以0≤a≤4. 2 ?Δ＝a－4a≤0，? 2 B.{a|0≤a＜4} D.{a|0≤a≤4} 答案 D 5.已知函数f(x)＝－x＋ax＋b－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( ) A.(－1，0) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(2，＋∞) D.不能确定 2 2 解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线 ax＝1对称，即＝1，解得a＝2. 2 又因为f(x)开口向下， 所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数， 所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b－b＋1＝b－b－2， 2 2 f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2. 答案 C 6.若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则( ) A.a＋b－c的最小值为2 B.a－b＋c的最小值为－4 C.a＋b－c的最大值为4 D.a－b＋c的最大值为6 解析 由题意可得－5≤(a－3)x＋(b－4)y＋c≤5恒成立，所以a＝3，b＝4，－5≤c≤5，则2≤a＋b－c≤12，即a＋b－c的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；－6≤a－b＋c≤4，
浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第1节不等关系与不等式一元二次不等式及其解法含解析
