第1节 不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法
考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型;3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;4.会解一元二次不等式.
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
a-b>0?a>b,??
(1)作差法?a-b=0?a=b,
??a-b<0?a<b;
??a(2)作商法?=1?a=b(a∈R,b≠0),
ba??b<1?a<b(a∈R,b>0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c;
(3)可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?a>b(n∈N,n≥1); (6)可开方:a>b>0?
nna>1?a>b(a∈R,b>0),bnna>b(n∈N,n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b-4ac 二次函数y=ax+bx+c (a>0)的图象 22Δ>0 Δ=0 Δ<0 2一元二次方程ax+bx+c有两相异实根x1,有两相等实根x1=x2= 没有实数根 =0 (a>0)的根 x2(x1<x2) -b2a ax2+bx+c>0 (a>0)的{x|x>x2?或x<x ??x|x≠-b?R 解集 1}2a?? ax2+bx+c<0 (a>0)的{x|x1<x<x2} ? ? 解集 [常用结论与易错提醒] 1.倒数性质
(1)a>b,ab>0?11
a<b.
(2)a<0<b?11
a<b.
2.有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则 (1)真分数的性质
ba<b+mbb-ma+m;a>a-m(a-m>0). (2)假分数的性质
aa+maa-b>b+m;b<mb-m(b-m>0). 3.对于不等式ax2
+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形. 4.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是,要注意区别.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误. (1)a>b?ac2
>bc2.( )
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( )
(3)若方程ax2
+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2
+bx+c>0的解集为R.( (4)不等式ax2
+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2
-4ac≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质,ac2
>bc2
?a>b;反之,c=0时,a>b ac2
>bc2
.
(3)若方程ax2
+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等式ax2
+bx+c>0的解集为?. (4)当a=b=0,c≤0时,不等式ax2
+bx+c≤0也在R上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
) 2.若a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A.> C.> abdcabcdB.< D.< abdcabcd1111
解析 因为c<d<0,所以0>>,两边同乘-1得->->0,又a>b>0,故由不等式
cddc的性质可知->->0.两边同乘-1得<.故选B. 答案 B
3.当x>0时,若不等式x+ax+1≥0恒成立,则a的最小值为( ) A.-2 C.-1
2
2
adbcabdcB.-3 3D.-
2
2
解析 当Δ=a-4≤0,即-2≤a≤2时,不等式x+ax+1≥0对任意x>0恒成立,当Δ=
a-4>0,??2
a2-4>0,则需?a解得a>2,所以使不等式x+ax+1≥0对任意x>0恒成立的实
-<0,??2
数a的最小值是-2. 答案 A
4.(2017·上海卷)不等式
2
x-1
>1的解集为________. x11
解析 1->1?<0?x<0,解集为(-∞,0).
xx答案 (-∞,0)
?11?2
5.若不等式ax+bx+2>0的解集为?-,?,则a=________,b=________.
?23?
11b-+=-,??23a11
解析 由题意知方程ax+bx+2=0的两根为x=-,x=,则?
23112
??-2×3=a,
2
1
2
??a=-12,
解得?
?b=-2.?
答案 -12 -2
6.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x-(m+1)x-m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是________.
解析 由题意知Δ=[-(m+1)]+4m>0.即m+6m+1>0,
2
2
2
解得m>-3+22或m<-3-22.
答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞)
考点一 比较大小及不等式的性质的应用
【例1】 (1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a,c-b=4-4a+a,则a,b,c的大小关系是( ) A.c≥b>a C.c>b>a
B.a>c≥b D.a>c>b
2
2
(2)已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围为________. 解析 (1)∵c-b=4-4a+a=(2-a)≥0,∴c≥b. 又b+c=6-4a+3a,∴2b=2+2a,∴b=a+1,
2
2
2
2
2
?1?3
∴b-a=a-a+1=?a-?+>0,
?2?4
2
2
∴b>a,∴c≥b>a.
(2)因为a,b,c为非负实数,且a+b+c=1,则a+b=1-c,0≤c≤1,故|(c-a)(c-b)|
?1?2
=|c-a||c-b|≤1,即-1≤(c-a)(c-b)≤1;又(c-a)(c-b)=c-(1-c)c+ab≥2?c-??4?
2111
-≥-.综上,有-≤(c-a)(c-b)≤1. 888
?1?答案 (1)A (2)?-,1?
?8?
规律方法 (1)比较大小常用的方法: ①作差法;②作商法;③函数的单调性法.
(2)判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊法排除.
1?x-21?【训练1】 (1)已知p=a+,q=??,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系是( )
a-2?2?A.p≥q C.p B.p>q D.p≤q 2 (2)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) 1bA.a+<a<log2(a+b) b2 b1B.a<log2(a+b)<a+ 2b1bC.a+<log2(a+b)<a b21bD.log2(a+b)<a+<a b2解析 (1)由于a>2,故p=a+ 11=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时取等号.a-2a-2 2 1?x-2?1?-2?2 因为x-2≥-2,所以q=??≤??=4,当且仅当x=0时取等号,所以p≥q. ?2??2?11b15b(2)令a=2,b=,则a+=4,a=,log2(a+b)=log2∈(1,2),则a<log2(a+b)<a2b28221 +. b答案 (1)A (2)B 考点二 一元二次不等式的解法 角度1 不含参的不等式 【例2-1】 求不等式-2x+x+3<0的解集. 解 化-2x+x+3<0为2x-x-3>0, 32 解方程2x-x-3=0得x1=-1,x2=, 2 2 22 多维探究 ?3?2 ∴不等式2x-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪?,+∞?, ?2??3?即原不等式的解集为(-∞,-1)∪?,+∞?. ?2? 角度2 含参不等式 【例2-2】 解关于x的不等式ax-2≥2x-ax(a∈R). 解 原不等式可化为ax+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1. 2 2 ?2?②当a>0时,原不等式化为?x-?(x+1)≥0, ? a? 2 解得x≥或x≤-1. a?2?③当a<0时,原不等式化为?x-?(x+1)≤0. ? a? 22 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤; aa
浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第1节不等关系与不等式一元二次不等式及其解法含解析
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