第1节 不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法
考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式．
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
a－b＞0?a＞b，??
(1)作差法?a－b＝0?a＝b，
??a－b＜0?a＜b；
??a(2)作商法?＝1?a＝b（a∈R，b≠0），
ba??b＜1?a＜b（a∈R，b＞0）.
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c>b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?a＞b(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0?
nna＞1?a＞b（a∈R，b＞0），bnna＞b(n∈N，n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋bx＋c (a＞0)的图象 22Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 2一元二次方程ax＋bx＋c有两相异实根x1，有两相等实根x1＝x2＝ 没有实数根 ＝0 (a＞0)的根 x2(x1＜x2) －b2a ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的{x|x＞x2?或x＜x ??x|x≠－b?R 解集 1}2a?? ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的{x|x1＜x＜x2} ? ? 解集 [常用结论与易错提醒] 1.倒数性质
(1)a＞b，ab＞0?11
a＜b.
(2)a＜0＜b?11
a＜b.
2.有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数的性质
ba＜b＋mbb－ma＋m；a＞a－m(a－m＞0). (2)假分数的性质
aa＋maa－b＞b＋m；b＜mb－m(b－m＞0). 3.对于不等式ax2
＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形. 4.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误. (1)a＞b?ac2
＞bc2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)若方程ax2
＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2
＋bx＋c＞0的解集为R.( (4)不等式ax2
＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2
－4ac≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质，ac2
＞bc2
?a＞b；反之，c＝0时，a＞b ac2
＞bc2
.
(3)若方程ax2
＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2
＋bx＋c>0的解集为?. (4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2
＋bx＋c≤0也在R上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
) 2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) A.＞ C.＞ abdcabcdB.＜ D.＜ abdcabcd1111
解析 因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式
cddc的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1得＜.故选B. 答案 B
3.当x＞0时，若不等式x＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为( ) A.－2 C.－1
2
2
adbcabdcB.－3 3D.－
2
2
解析 当Δ＝a－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝
a－4＞0，??2
a2－4＞0，则需?a解得a＞2，所以使不等式x＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实
－＜0，??2
数a的最小值是－2. 答案 A
4.(2017·上海卷)不等式
2
x－1
>1的解集为________. x11
解析 1－>1?<0?x<0，解集为(－∞，0).
xx答案 (－∞，0)
?11?2
5.若不等式ax＋bx＋2>0的解集为?－，?，则a＝________，b＝________.
?23?
11b－＋＝－，??23a11
解析 由题意知方程ax＋bx＋2＝0的两根为x＝－，x＝，则?
23112
??－2×3＝a，
2
1
2
??a＝－12，
解得?
?b＝－2.?
答案 －12 －2
6.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________.
解析 由题意知Δ＝[－(m＋1)]＋4m＞0.即m＋6m＋1＞0，
2
2
2
解得m＞－3＋22或m＜－3－22.
答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)
考点一 比较大小及不等式的性质的应用
【例1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a，c－b＝4－4a＋a，则a，b，c的大小关系是( ) A.c≥b>a C.c>b>a
B.a>c≥b D.a>c>b
2
2
(2)已知非负实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则(c－a)(c－b)的取值范围为________. 解析 (1)∵c－b＝4－4a＋a＝(2－a)≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a，∴2b＝2＋2a，∴b＝a＋1，
2
2
2
2
2
?1?3
∴b－a＝a－a＋1＝?a－?＋>0，
?2?4
2
2
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)因为a，b，c为非负实数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＝1－c，0≤c≤1，故|(c－a)(c－b)|
?1?2
＝|c－a||c－b|≤1，即－1≤(c－a)(c－b)≤1；又(c－a)(c－b)＝c－(1－c)c＋ab≥2?c－??4?
2111
－≥－.综上，有－≤(c－a)(c－b)≤1. 888
?1?答案 (1)A (2)?－，1?
?8?
规律方法 (1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.
(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.
1?x－21?【训练1】 (1)已知p＝a＋，q＝??，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是( )
a－2?2?A.p≥q C.p B.p>q D.p≤q 2 (2)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( ) 1bA.a＋＜a＜log2(a＋b) b2 b1B.a＜log2(a＋b)＜a＋ 2b1bC.a＋＜log2(a＋b)＜a b21bD.log2(a＋b)＜a＋＜a b2解析 (1)由于a>2，故p＝a＋ 11＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号.a－2a－2 2 1?x－2?1?－2?2 因为x－2≥－2，所以q＝??≤??＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q. ?2??2?11b15b(2)令a＝2，b＝，则a＋＝4，a＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)，则a＜log2(a＋b)＜a2b28221 ＋. b答案 (1)A (2)B 考点二 一元二次不等式的解法 角度1 不含参的不等式 【例2－1】 求不等式－2x＋x＋3<0的解集. 解 化－2x＋x＋3<0为2x－x－3>0， 32 解方程2x－x－3＝0得x1＝－1，x2＝， 2 2 22 多维探究 ?3?2 ∴不等式2x－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪?，＋∞?， ?2??3?即原不等式的解集为(－∞，－1)∪?，＋∞?. ?2? 角度2 含参不等式 【例2－2】 解关于x的不等式ax－2≥2x－ax(a∈R). 解 原不等式可化为ax＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. 2 2 ?2?②当a＞0时，原不等式化为?x－?(x＋1)≥0， ? a? 2 解得x≥或x≤－1. a?2?③当a＜0时，原不等式化为?x－?(x＋1)≤0. ? a? 22 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； aa
浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第1节不等关系与不等式一元二次不等式及其解法含解析
