2等差数列的概念和通项公式教案

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课题 课型 课时 2.2等差数列 新授 授课时间 2010-12 教案编号 授课班级 授课人 教材分析 本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项an可看作项数n的一次型（d?0）函数，这与其图像的形状相对应．有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式an?a1?(n?1)d是数列第n项an与项数n之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是n，即其末项未必是该数列的第n项，在教学中一定要强调这一点． 学情分析 学法指导 类比等差数列与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教知识掌握等差数列的概念、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及推导方法，与技能 会用定义判断数列{an}是否为等差数列，能熟练运用用通项公式求有关的量: a1,d,n,an, 1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题； 2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想； 3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣. 学过程与方法 情感态度与价值观 目标 教学重点 掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项，用通项验证数列{an}是否为等差数列，并能用通项公式解决有关问题. 教学难点 理解等差数列“等差”性的特点 教学资源 教学方法 知识结构 板书计划 Word资料

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教学过程 教学环节 所需时间 教学内容 教师活动 学生活动 探究任务一：等差数列的概念 问题 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有 什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63 ③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！ 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差， 常用字母d表示. ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{an},若an－an?1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N?，则此数列是等差数列，d 为公差 设计意图 教学反馈 探究任务二：等差数列的通项公式 从定义的数学表达式：an?an?1?d （n=2,3,4……）得：an?an?1?d 表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和,因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示. a2?a1?d,a3?a2?d?a1?2d,......an?a1?(n?1)d 以上体现了归纳的过程，能否由递推式得出其通项呢？ a2?a1?da3?a2?da4?a3?d?an?a1?(n?1)d .......an?an?1?d由于有了第一节递推公式的基础，这种做法学生能很快接受，甚至能主动提出这种想法. 1）第一通项公式： an?a1?(n?1)d n∈N *例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ Word资料

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解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3 n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4 得数列通项公式为：an??5?4(n?1) 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项 注：通项公式an?a1?(n?1)d反映了项an与项数n之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知a1,d,n求an）.找学生试举一例如：“已知等差数列?an?中，首项a1?1，公差d??2，求a200.”这是通项公式的简单应用。 要求分组举出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上. 1.方程思想的运用 （1）已知等差数列?an?中，首项a1?1，公差d??2，则－397是该数列的第______项. （2）已知等差数列?an?中，首项a1?1，a20??37,则公差d?______. （3）已知等差数列?an?中，公差d??2，a20??37,则首项a1?________. 这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量a1,d,n，an在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量. 2.基本量方法的使用 （1）已知等差数列?an?中，a3?9,a9??3，求a17的值. （2）已知等差数列?an?中，a3?a5??14，2a2?a6??15,求a8. 若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于a1和d的二元方程组，所Word资料

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以这些等差数列是确定的，由a1和d写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于a1和d的二元方程组，以求得a1和d，a1和d称作基本量.（还可以得出d的几何意义法，即第二通项公式法） 教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？ 学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于a1和d的二元方程，这是一个a1和d的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）. 如：已知等差数列?an?中，a3?a15?30,… 由条件可得2a1?16d?30,即a1?8d?15，可知a9?15，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题 （3）已知等差数列?an?中，a3?a15?30,求a9；a7?a11； a7?a9?a11；a7?a8?a10?a11；…. 类似的还有 a3?a4?a5?a6?a7?150,求a2?a8（4）已知等差数列?an?中，的值.以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出等差数列的性质。 3.研究等差数列的单调性 an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d)，考察an随项数n的变化规律.着重考虑d?0的情况. 此时an是n的一次函数，其单调性取决于d的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的. 4.研究项的符号 这是为研究等差数列前n项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如 *（1）已知数列?an?的通项公式为an?19?2n(n?N)，问数列从第几项开始小于0？ （2）等差数列84,80,?从第________项起以后每项均为负数. Word资料

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课堂小结 1、理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an?1=d ，（n≥2，n∈N?）. 2、 用方程思想认识等差数列通项公式； 3、 用函数思想解决等差数列问题. 课堂检测 教学效果 ⑴教学任务完成情况 自我评 估： 课后反思 改进设想

是否一定要用首项来表示数列？

可以补充：an?am?(n?m)d（第二通项公式） 从函数的观点进行等差数列的教学

函数观点不能当点缀、作标签，而应贯彻教学的始终。 在第一节的学习中，学生对于数列是函数已经有了比较深刻的印象，所以，当等差数列的通项公式

⑵学生掌握情况 分层作业 由等差数列的定义和通项公式，你能推出等差数列的什么性质？请写出3条。 an?a1?(n?1)d得到之后，就应不失时机地引导学生对它的函数的类型做出判断。

得到结论：?an?是等差数列?an?dn?b（第三通项公式）

这样，由于公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数n的一次函数式。于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列。

例如，理解为什么d?0,?an?递增；d?0,?an?递减。

根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列。 由an?am?(n?m)d得d?an?am，它的含义是什么呢？直线的斜率

n?m（可以适当拓展到直线斜率的计算方法）

例 在等差数列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

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