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课题 课型 课时 2.2等差数列 新授 授课时间 2010-12 教案编号 授课班级 授课人 教材分析 本节内容分为两课时,一节为等差数列的定义与表示法,一节为等差数列通项公式的应用.等差数列定义的引出可先给出几组等差数列,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出等差数列的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做等差数列”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.等差数列的定义归纳出来后,由学生举一些等差数列的例子,以此让学生思考确定一个等差数列的条件.由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项an可看作项数n的一次型(d?0)函数,这与其图像的形状相对应.有穷等差数列的末项与通项是有区别的,数列的通项公式an?a1?(n?1)d是数列第n项an与项数n之间的函数关系式,有穷等差数列的项数未必是n,即其末项未必是该数列的第n项,在教学中一定要强调这一点. 学情分析 学法指导 类比等差数列与一次函数的联系,这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质:从图象上看,为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上,为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教知识掌握等差数列的概念、等差中项的概念,掌握等差数列的通项公式及推导方法,与技能 会用定义判断数列{an}是否为等差数列,能熟练运用用通项公式求有关的量: a1,d,n,an, 1.通过教与学的互动,使学生加深对等差数列通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题; 2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想; 3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣. 学过程与方法 情感态度与价值观 目标 教学重点 掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项,用通项验证数列{an}是否为等差数列,并能用通项公式解决有关问题. 教学难点 理解等差数列“等差”性的特点 教学资源 教学方法 知识结构 板书计划 Word资料
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教学过程 教学环节 所需时间 教学内容 教师活动 学生活动 探究任务一:等差数列的概念 问题 1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有 什么共同特征? ① 0,5,10,15,20,25,… ② 48,53,58,63 ③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④ 10072,10144,10216,10288,10366 在这一段的教学中,一定要重视归纳的过程,这是学生能理解等差数列的所必须的,不要一笔带过! 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差, 常用字母d表示. ⑴.公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵.对于数列{an},若an-an?1=d (与n无关的数或字母),n≥2,n∈N?,则此数列是等差数列,d 为公差 设计意图 教学反馈 探究任务二:等差数列的通项公式 从定义的数学表达式:an?an?1?d (n=2,3,4……)得:an?an?1?d 表明从第二项起,等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和,因此,等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示. a2?a1?d,a3?a2?d?a1?2d,......an?a1?(n?1)d 以上体现了归纳的过程,能否由递推式得出其通项呢? a2?a1?da3?a2?da4?a3?d?an?a1?(n?1)d .......an?an?1?d由于有了第一节递推公式的基础,这种做法学生能很快接受,甚至能主动提出这种想法. 1)第一通项公式: an?a1?(n?1)d n∈N *例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项? Word资料
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解:⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3 n=20,得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4 得数列通项公式为:an??5?4(n?1) 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n,使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100,即-401是这个数列的第100项 注:通项公式an?a1?(n?1)d反映了项an与项数n之间的函数关系,当等差数列的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知a1,d,n求an).找学生试举一例如:“已知等差数列?an?中,首项a1?1,公差d??2,求a200.”这是通项公式的简单应用。 要求分组举出一些运用等差数列通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上. 1.方程思想的运用 (1)已知等差数列?an?中,首项a1?1,公差d??2,则-397是该数列的第______项. (2)已知等差数列?an?中,首项a1?1,a20??37,则公差d?______. (3)已知等差数列?an?中,公差d??2,a20??37,则首项a1?________. 这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量a1,d,n,an在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量. 2.基本量方法的使用 (1)已知等差数列?an?中,a3?9,a9??3,求a17的值. (2)已知等差数列?an?中,a3?a5??14,2a2?a6??15,求a8. 若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于a1和d的二元方程组,所Word资料
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以这些等差数列是确定的,由a1和d写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于a1和d的二元方程组,以求得a1和d,a1和d称作基本量.(还可以得出d的几何意义法,即第二通项公式法) 教师提出新的问题,已知等差数列的一个条件(等式),能否确定一个等差数列? 学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于a1和d的二元方程,这是一个a1和d的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定). 如:已知等差数列?an?中,a3?a15?30,… 由条件可得2a1?16d?30,即a1?8d?15,可知a9?15,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题 (3)已知等差数列?an?中,a3?a15?30,求a9;a7?a11; a7?a9?a11;a7?a8?a10?a11;…. 类似的还有 a3?a4?a5?a6?a7?150,求a2?a8(4)已知等差数列?an?中,的值.以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出等差数列的性质。 3.研究等差数列的单调性 an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d),考察an随项数n的变化规律.着重考虑d?0的情况. 此时an是n的一次函数,其单调性取决于d的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的. 4.研究项的符号 这是为研究等差数列前n项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如 *(1)已知数列?an?的通项公式为an?19?2n(n?N),问数列从第几项开始小于0? (2)等差数列84,80,?从第________项起以后每项均为负数. Word资料
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课堂小结 1、理解与掌握等差数列的定义及数学表达式:an-an?1=d ,(n≥2,n∈N?). 2、 用方程思想认识等差数列通项公式; 3、 用函数思想解决等差数列问题. 课堂检测 教学效果 ⑴教学任务完成情况 自我评 估: 课后反思 改进设想
是否一定要用首项来表示数列?
可以补充:an?am?(n?m)d(第二通项公式) 从函数的观点进行等差数列的教学
函数观点不能当点缀、作标签,而应贯彻教学的始终。 在第一节的学习中,学生对于数列是函数已经有了比较深刻的印象,所以,当等差数列的通项公式
⑵学生掌握情况 分层作业 由等差数列的定义和通项公式,你能推出等差数列的什么性质?请写出3条。 an?a1?(n?1)d得到之后,就应不失时机地引导学生对它的函数的类型做出判断。
得到结论:?an?是等差数列?an?dn?b(第三通项公式)
这样,由于公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数n的一次函数式。于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列。
例如,理解为什么d?0,?an?递增;d?0,?an?递减。
根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质,就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列。 由an?am?(n?m)d得d?an?am,它的含义是什么呢?直线的斜率
n?m(可以适当拓展到直线斜率的计算方法)
例 在等差数列?an?中,已知a5?10,a12?31,求a1,d,a20,an
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2等差数列的概念和通项公式教案
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