2．1.1 指数概念的推广
[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．
[知识链接]
1．4的平方根为±2,8的立方根为2.
2
2．2·2＝32，(2)＝16，(2·3)＝36，3＝4.
2
3
2
22
2
5
[预习导引]
1n0－n1．把n(正整数)个实数a的连乘记作a，当a≠0时有a＝1，a＝n(n∈N)．
a2．整数指数幂的运算有下列规则：
amm－nananmnmnnnna·a＝a，n＝a，(a)＝a，(ab)＝a·b，()＝n(b≠0)．
abbmnm＋n3．若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即x＝a，就说x是a的n次方根.3次方根也称为立方根．
当n是奇数时，数a的n次方根记作a.
nnnnna＞0时，a＞0；a＝0时，0＝0；a＜0时，a＜0.
当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作a.也就是说，当a＞0时，如x＝a，那么x＝±a. 规定：0＝0，负数没有偶次方根．
4．式子a叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数．一般地，有(a)＝a.当n为奇数时，a＝a；当n为偶数时，a＝|a|. 5．当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定
nnnnnnnnnnnna＝a，
nmmn1
＝a?mn.
am6．规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a＞0时，对于任意有理数m，n仍有
公式
amm－namammnmnmmma·a＝a，n＝a，(a)＝a，(ab)＝a·b，()＝m(b≠0)．
abbmnm＋n7．对任意的正有理数r和正数a，若a＞1则a＞1；若a＜1则a＜1.根据负指数的意义和倒数的性质可得：
对任意的负有理数r和正数a，若a＞1，则a＜1；若a＜1则a＞1.
8．任意正数a的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数a，对任意实数x，a的x次幂a都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：
对任意的正实数x和正数a，若a＞1则a＞1；若a＜1则a＜1. 对任意的负实数x和正数a，若a＞1则a＜1；若a＜1则a＞1.
xxxxxrrrr
要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值：
348328
(1)?－2?；(2)?－3?；(3)?3－π?； (4)x－2x＋1－x＋6x＋9，x∈(－3,3)． 33
解 (1)?－2?＝－2. 4422
(2)?－3?＝3＝3. 88(3)?3－π?＝|3－π|＝π－3.
(4)原式＝?x－1?－?x＋3?＝|x－1|－|x＋3|， 当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
?－2x－2，－3＜x≤1，?
因此，原式＝?
??－4，1＜x＜3.
2
2
2
2
规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪演练1 化简下列各式．
544544
(1)?－2?；(2)?－10?；(3)?a－b?. 55
解 (1)?－2?＝－2. 44
(2)?－10?＝|－10|＝10. (3)
4
??a－b，a≥b，
?a－b?＝|a－b|＝?
?b－a，a＜b.?
4
要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式： 34
(1)a·a； (2)aaa； 323233(3)a·a； (4)(a)·ab. 解 (1)a·a＝a·a＝a12231432187834
1314712；
(2)原式＝a·a·a＝a； (3)原式＝a·a＝a132
136；
327632(4)原式＝(a)·a·b＝ab.
规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝a和amn12nm?mn＝
1
＝m1
，其中字母a要使式子有意义．
annam跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1)a·－a(a＜0)；(2)ab?ab?(a，b＞0)；
4(3)(
232336
3
23
b)(b＜0)；(4)
3
1
(x≠0)．
x?x2?2
解 (1)原式＝a·(－a)
＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0)；
3
(2)原式＝
2
5
1316131612ab·ab＝
32323
ab
5272
2024版高考数学专题指数函数对数函数和幂函数2.1.1指数概念的推广学案湘教版
