第4讲 二次函数
一、选择题 1．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
22
A．g(x)＝2x－3x B．g(x)＝3x－2x
22
C．g(x)＝3x＋2x D．g(x)＝－3x－2x
2
解析：选B.法一：设g(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
?a＋b＋c＝1?a＝3
??
所以?a－b＋c＝5，解得?b＝－2，
???c＝0?c＝0
2
所以g(x)＝3x－2x，故选B.
2
法二：设g(x)＝a(x－k)＋h(a≠0)，
a＝3
2
ak＋h＝0?1?k＝2
3， 由已知得?a（1－k）＋h＝1，解得
??a（1＋k）2＋h＝5
2
???1??h＝－3
?1?1
所以g(x)＝3?x－?－，
?3?3
即g(x)＝3x－2x.
2
2．已知函数f(x)＝x＋(a＋1)x＋ab，若不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤4}，则a＋2b的值为( )
A．－2 B．3 C．－3 D．2
2
解析：选A.依题意，－1，4为方程x＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，所以???－1＋4＝－（a＋1），?a＝－4，?解得?所以a＋2b的值为－2，故选A. ?－1×4＝ab，?b＝1，??
2
3．已知函数f(x)＝－2x＋bx，若对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，则f(－2)，f(4)，f(5)的大小关系为( )
A．f(5)>f(－2)>f(4) B．f(4)>f(5)>f(－2) C．f(4)>f(－2)>f(5) D．f(－2)>f(4)>f(5)
2
解析：选B.因为对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，所以函数f(x)＝－2x＋bx2
的图象关于直线x＝4对称，所以f(－2)＝f(10)，又函数f(x)＝－2x＋bx的图象开口向下，所以函数f(x)在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f(4)>f(5)>f(10)，即f(4)>f(5)>f(－2)．
2
4．(2018·南昌模拟)已知函数f(x)＝x＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( )
?1?A．[0，12] B.?－，12? ?4?
?1??3?C．?－，12? D.?，12? ?2??4?
2
解析：选B.因为函数f(x)＝x＋ax＋b的图象过坐标原点， 所以f(0)＝0，所以b＝0.
1
因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，所以a＝1，所以
2
2
1??1?1??1?f(x)＝x＋x＝?x＋?－，所以函数f(x)在?－1，－?上为减函数，在?－，3?上为增函2??2?4??2?
2
2
11
数，故当x＝－时，函数f(x)取得最小值－.又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－
24?1?1，3]上的值域为?－，12?，故选B. ?4?
22
5．(2018·衡阳模拟)若不等式x－2x＋5≥a－3a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[－2，5) D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
222
解析：选A.令f(x)＝x－2x＋5＝(x－1)＋4, 则f(x)的最小值为4，若不等式x－2x22
＋5≥a－3a对任意的实数x恒成立，则a－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.
?25?2
6．若函数y＝x－3x－4的定义域为[0，m]，值域为?－，－4?，则m的取值范围是
?4?
( )
?3?A．[0，4] B.?，4? ?2?
?3??3?C．?，＋∞? D.?，3? ?2??2?
325?3?解析：选D.二次函数图象的对称轴为x＝，且f??＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图24?2?
?3?得m∈?，3?. ?2?
二、填空题 7．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．
2
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)，又图象与y轴交于点(0，3)，
1
所以3＝9a，即a＝.
3
1122
所以y＝(x－3)＝x－2x＋3.
3312
答案：y＝x－2x＋3
3
2
8．已知函数f(x)＝x－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.
22
又f(x)＝(x－a)－a＋2a＋4，
2
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a＋2a＋4＝1，
2
即a－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1. 答案：－1或3
2
9．(2018·吉林模拟)已知函数f(x)＝x＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1，1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为________．
2
解析：函数f(x)＝x＋2ax＋3的图象的对称轴是x＝－a，因为函数f(x)在(－∞，1]
2
上单调递减，所以－a≥1，即a≤－1，且函数f(x)＝x＋2ax＋3在区间[a＋1，1]上单调递
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