每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。
高中数学人教A版选修1-2教学案：第一章章末小结与测评-含解析
[典例1] 以下是某地收集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积x/m2 销售价格y/万元 115 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)若线性相关，求线性回归方程；
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格． 解：(1)数据对应的散点图如图所示． (2)由散点图知y与x具有线性相关关系． 由表中数据知＝i＝109，
y＝i＝23.2，＝60 975，iyi＝12 952.
设所求回归直线方程为＝x＋， 则＝≈0.196 2，＝－≈1.814 2，
故所求回归直线方程为＝0.196 2x＋1.814 2.
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！
1 / 12
每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。
(3)根据(2)，当x＝150时，销售价格的估计值为＝0.1962×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．
[对点训练]
1．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份 时间代号t 储蓄存款y(千亿元) 2010 1 5 2011 2 6 2012 3 7 2013 4 8 2014 5 10 (1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款． 附：回归方程＝t＋中，＝，＝－ . 解：(1)列表计算如下：
i 1 2 3 4 5 ∑ ti 1 2 3 4 5 15 yi 5 6 7 8 10 36 t2i 1 4 9 16 25 55 tiyi 5 12 21 32 50 120 这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2， 又ltt＝－n2＝55－5×32＝10，
lty＝iyi－n ＝120－5×3×7.2＝12，
从而＝＝＝1.2，＝－ ＝7.2－1.2×3＝3.6， 故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).
对于建立的回归模型，我们必须对模型的拟合效果进行分析，也就是对利用回归模型解决实际问题的效果进行评价．一方面可以对比残差或残差平方和的大小，同时观察残差图，进行残差分析；另一方面也可以研究数据的R2(相关系数r)．对模型拟合效果的分析能够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题．
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！
2 / 12
每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。
[典例2] 在研究弹簧伸长长度y(cm)与拉力x(N)的关系时，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：
x/N y/cm 5 7.25 10 8.12 15 8.95 20 9.90 25 10.9 30 11.8 若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线方程为＝0.18x＋6.34，求R2，并结合残差说明拟合效果．
解：列表求值如下：
xi yi xiyi x2i ^yi－yi yi－y 5 7.25 36.25 25 0.01 －2.24 10 8.12 81.2 100 －0.02 －1.37 15 8.95 134.25 225 －0.09 －0.54 20 9.90 198 400 －0.04 0.41 25 10.9 272.5 625 0.06 1.41 30 11.8 354 900 0.06 2.31 x＝17.5，≈9.49，iyi＝1 076.2，＝2 275，(yi－i)2＝0.017 4，(yi－)2
＝14.678 4.
∴R2＝1－≈0.998 81，回归模型拟合效果较好．由表中数据可以看出残差比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高．
[对点训练]
2．从某大学中随机选取5名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
编号 身高x/cm 体重y/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 甲、乙两位同学在计算根据女大学生的身高预报体重的回归方程时，分别得到以下回归模型：甲：＝0.75x－70；乙：＝0.76x－71.试依据R2判定哪一个模型的拟合效果较好？
解：对甲模型，yi－i与yi－的值如下表：
^yi－yi yi－y －5.75 －6.6 3.25 2.4 2.25 －4.6 －3.5 －0.6 2.75 9.4 所以(yi－i)2＝(－5.75)2＋3.252＋2.252＋(－3.5)2＋2.752＝68.5，
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！
3 / 12
高中数学人教A版选修1-2教学案：第一章章末小结与测评-含解析
