专题五（1） 加乘原理 一、加乘原理
1、加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法…….第n类方法中有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有：
N?m1?m2?????mn种不同的方法。
2、乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有：
N?m1?m2?????mn种不同的方法。
二、应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：
⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．
⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．
⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．
（4）加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． （5）乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完．．．．．．．．
成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，．．．．．步步相关”
例题1、如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法
例题2、有一个三层书架，第一层放了15本书，第二层放了10本漫画书，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同，请问：
（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法
（2）如果从每一层中各取一本，共有多少种不同的取法
（3）如果从中取2本不同类别的书，共有多少种不同的取法
例题2、运动会中有4个跑步的比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：
（1）如果每名同学都可以任意报这4个项目，一共有多少种报名方法
（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法
例题4、用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数
例题5、用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数
例题6、如右图，有A、B、C、D、E五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式
1、王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢（2级）
2、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择
3、四张卡片上写有2、4、7、8，从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数，请问：一共可以组成多少个不同的三位数其中有多少个不同的三位奇数
4、由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数
5、地图上有A，B，C，D四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法
6、用4种不同的颜色给下图涂色，使相邻的长方形颜色不种不同的涂色方法
同，有多少
A D 专题五（2） 容斥原理
C 在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠复计算，中公教育专家研究出一种新的计数方法。这种方路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对
B 部分不被重法的基本思象的数目先
计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
例题1、在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室共有多少人
例题2、某餐厅有27道招牌菜，小明吃过其中的13道，小红吃过其中的7道，而且有2道菜是两个人都吃过的，请问：有多少道菜招牌菜是两人都没有吃过的
例题3、五年级二班有40名同学，其中有25人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人
例题4、三位基金经理投资若干只股票，张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过其中23只。张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只，请问：这三位经理一共买过多少只股票
例题5、森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或几种，爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜。如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔
一共有多少只
例题6、渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加。参加长跑的有150名男生和90名女生，参加游泳比赛的有120名男生和70名女生，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人
1、暑假里，萱萱和小高一起讨论“金陵十八景”，他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两个人都去过的。如果萱萱去过其中的十二景，那么小高去过其中的几景 2、在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8个两部动画片都看过，请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人
3、一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢吃的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人
4、五年级一班有45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两门课都没有的满分的有29人，请问：语文成绩得满分的有多少人 5、在一个有30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人 6、光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人。同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组有10人，三个小组都参加的有2人。光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人
加乘原理与容斥原理
