求数列通项的几种常见类型及其解法
张志勇
顺德罗定邦中学 528300
【摘要】针对中学生在求数列通项中遇到的几类问题，加以归纳和总结。为学生的学习和
高中教师的《数列》教学提供方便和参考
【关键词】数列、通项公式、类型、解法
1.形如an?1?an?f(n)型
（1）若f(n)为常数,即：an?1?an?d,此时数列为等差数列，则an=a1?(n?1)d. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 an?1?an?f(n)得：
n?2时，an?an?1?f(n?1)，
an?1?an?2?f(n?2)， ??
a3?a2?f(2)
a2?a1?f(1)
所以各式相加得 an?a1?f(n?1)?f(n?2)???f(2)?f(1)
n?1即：an?a1??k?1f(k).
n?1?an?1(n?2), 例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足a1?1,an?3
证明an?3?12n
n?1证明：由已知得：an?an?1?3,故
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1
=3n?1?3n?2???3?1?3?12n. ?an?3?12n.
例2.已知数列?an?的首项为1，且an?1?an?2n(n?N*)写出数列?an?的通项公式. 答案：an=n2?n?1
例3.已知数列{an}满足a1?3，an?an?1?答案：an?2?1n1n(n?1)(n?2)，求此数列的通项公式.
评注：已知a1?a,an?1?an?f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
2.形如
an?1an?f(n)型
（1）当f(n)为常数，即：
an?1an?q（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，
an=a1?qn?1.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由
an?1an?f(n)得 n?2时，
anan?1?f(n?1)，
?an?anan?1?an?1an?2???a2a1?a1=f(n)f(n-1)??f(1)?a1.
22例1.设?an?是首项为1的正项数列，且?n?1?an?1?nan?an?1an?0（n=1，2， 3，…），
则它的通项公式是an=________.
解：已知等式可化为：(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0
?an?0(n?N)?(n+1)an?1?nan?0, 即
*an?1an?nn?1
?n?2时，
anan?1?n?1n
?an?anan?1?an?1an?2???a2a1?a1=
n?1n?211????1=. nn?12n评注：本题是关于an和an?1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an?1的更为明显的关系式，从而求出an.
例2.已知an?1?nan?n?1,a1??1,求数列{an}的通项公式. 解：因为an?1?nan?n?1,所以an?1?1?nan?n, 故an?1?1?n(an?1),又因为a1??1,即a1?1?0， 所以由上式可知an?1?0,所以
an?1an?1?1an?1?1an?1?n,故由累乘法得
an?1?an?1?1an?2?1????a3?1a2?1??(a1?1) a2?1a1?1=(n?1)?(n?2)???2?1?(a1?1)?(n?1)!?(a1?1) 所以an?(n?1)!?(a1?1)-1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an?1?nan?n?1,转化为
an?1?1?n(an?1),若令bn?an?1,则问题进一步转化为bn?1?nbn形式，进而应用累乘
法求出数列的通项公式.
3．形如an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列; （2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
（3）若c?1且d?0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设an?1???c(an??),
得an?1?can?(c?1)?,与题设an?1?can?d,比较系数得
(c?1)??d,所以??dc?1,(c?0)
所以有：an?因此数列?an???dc?1?c(an?1?dc?1)
d?构成以为首项，以c为公比的等比数列， a??1c?1c?1?d所以 an?dc?1?(a1?dc?1)?cdc?1n?1)?cdn?1
即：an?(a1??c?1.
dc?1d?c(an?n?1规律：将递推关系an?1?can?d化为an?1?数列{an?dc?1}从而求得通项公式an?1?dc?1d),构造成公比为c的等比)
例1．已知数列{an}中，a1?2,an?1分析：两边直接加上解：由an?1?12an?dc?1121?cc?111?an?,求通项an. 22?c(a1?,构造新的等比数列。
12(an?1),
12,得an?1?1?所以数列{an?1}构成以a1?1?1为首项，以所以an?1?()21n?1为公比的等比数列
,即 an?()21n?1?1.
4.形如an?1?pan?f(n)型
(1)若f(n)?kn?b(其中k,b是常数，且k?0) 方法：相减法
例1. 在数列{an}中，a1?1,an?1?3an?2n,求通项an. 解：?，an?1?3an?2n, ①
?n?2时，an?3an?1?2(n?1)，
两式相减得
an?1?an?3(an?an?1)?2.令bn?an?1?an,则bn?3bn?1?2
n?1?2 利用类型3的方法知bn?5?3n?1?2 ② 即 an?1?an?5?3再由累加法可得an?52?3n?1?n?1.
亦可联立 ① ②解出an?52?3n?1?n?1.
(2)若f(n)?qn(其中q是常数，且n?0,1) 求通项方法：两边同除以qn?1 . 即：
an?1qn?1?pq?anqn?1q,
令bn?anqn,则可化为bn?1?pq?bn?1q.然后转化为类型3来解，
例（2003天津理）
设a0为常数，且an?3n?1?2an?1(n?N)． 证明对任意n≥1，an?15[3?(?1)nn?1?2]?(?1)?2a0；
nnn证明：由an?3n?1?2an?1(n?N)得
an3nan3n?13?23323?an?1n?1.
设bn?，则bn??23bn?1?13. 即：bn?15??(bn?1?15),
所以?bn???12121??是以b1??(?a0)为首项，?为公比的等比数列.
53535?212n?11n?12n(?a0)(?)=(?a0)(?1)(), 35353则bn?an3n15?即：
?bn?(15n15?a0)(?1)n?1nn?12n1()?, 35nn故 an?[3?(?1)?2]?(?1)?2a0.
评注：本题的关键是两边同除以3n，进而转化为类型3，构造出新的等比数列，从而将求
一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.
5.形如tn?1?a?tn?bc?tn?d(a2+c2≠0)型
方法：不动点法:
为了求出递推数列tn?1?a?tn?bc?tn?d的通项，我们先给出如下两个定义：
定义1：若数列{tn}满足tn?1?f(tn)，则称f(x)为数列{tn}的特征函数.
定义2:方程f(x)=x称为函数f(x)的不动点方程，其根称为函数f(x)的不动点.
求数列通项的几种常见类型及其解法
