课时分层作业(二十) 平面向量共线的坐标表示
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
B [只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a.]
2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为( )
【导学号：84352236】
A.2 C．2
A [由a∥b得－x＋2＝0， 得x＝±2.
当x＝－2时，a与b方向相反．]
3．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则( ) A．存在实数x，使a∥b B．存在实数x，使(a＋b)∥a C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
D [由a∥b?x＝－9无实数解，故A不对；
又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x＝－9无实数解，故B不对；
因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，
由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0， 即x＝－9无实数解，故C不对；
由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0， 即m(x＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确．] 4．若三点A(2,3)，B(3，a)，C(4，b)共线，则有( ) A．a＝3，b＝－5 C．2a－b＝3
B．a－b＋1＝0 D．a－2b＝0
22
2
2
2
B．－2 D．－2
1
→→
C [AB＝(1，a－3)，AC＝(2，b－3)， →→
因为A，B，C共线，所以AB∥AC， 所以1×(b－3)－2(a－3)＝0， 整理得2a－b＝3.]
?1?5．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝?，1＋sin θ?，且a∥b，则锐角θ等于 ?2?
( ) 【导学号：84352237】
A．30° C．60°
B．45° D．75°
12
B [由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，
22故θ＝45°.]
二、填空题
→
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
→3
[由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB＝(4,6)． 2
→
又AB与a＝(1，λ)共线， 3
则4λ－6＝0，解得λ＝.] 2
?1?7．若三点A(1，－3)，B?8，?，C(x,1)共线，则x＝________. ?2?
→?7?→→→7
9 [∵AB＝?7，?，AC＝(x－1,4)，AB∥AC，∴7×4－×(x－1)＝0，∴x＝9.]
2?2?8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________.
【导学号：84352238】
→?0，7?或?7，0? [由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB＝(x－1，?2??3?
????
y－2)＝b.
??－2λ＝x－1，由???3λ＝y－2
??
??x＝1－2λ，??y＝3λ＋2，
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
2
?7??7?所以B?0，?或?，0?.] ?2??3?
三、解答题
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)求a＋3b的坐标．
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
【导学号：84352239】
[解] (1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)． 所以a＋3b＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)． (2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)， 因为ka－b与a＋3b平行， 所以3(k－2)＋7＝0，解得k＝－1
3
，
所以ka－b＝??7?－3，－1???
，a＋3b＝(7,3)， 即k＝－1
3
时，ka－b与a＋3b平行，方向相反．
10．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且→AE＝1→→1→→→
3AC，BF＝3BC，求证：EF∥AB.
[证明] 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 依题意有→AC＝(2,2)，→
BC＝(－2,3)， →
AB＝(4，－1)．因为AE→＝1AC→
3
，
所以→AE＝??2?3，23???
，
所以(x1＋1，y1)＝??22?3，3???， 故E??12?－3，3???
. 因为→BF＝1→3BC，
所以→BF＝???－23，1???
，
所以(x2－3，y2＋1)＝???－23，1???， 故F??7?3，0???
. 3
→?82?所以EF＝?，－?.
3??3
?2?8
又因为4×?－?－×(－1)＝0，
?3?3
→→所以EF∥AB.
[冲A挑战练]
1．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
【导学号：84352240】
A．2 C．±2
B．3 D．－2
nmD [由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由
ma＋nb与a－2b共线，得
2m－n3m＋2nn＝，所以＝－2.] 4－1m2．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，
q＝(b，c－a)，若p∥q，则角C为( )
A.C.
π
6
π
2
B.D.2π 3π 3
C [因为p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即
c2＝a2＋b2，所以角C为.故选C.]
→→→
3．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
π2
m≠ [AB＝OB－OA＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，
→
12
→→→
AC＝OC－OA＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m,1－m)，由于点A，B，C能构成三角
→→
→→1形，则AC与AB不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠.]
2
→→?1?4．已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，点P?，y?，且P1P＝λPP2，则λ＝________，y＝
?2?________.
→?1549??5? [∵P1P＝?－3，y－2?＝?－，y－2?，
1722?2??2?
4
????PP2＝?－8－，3－y?＝?－，3－y?，
?
?
→→且P1P＝λPP2，
→
12
17??2
?5??17?∴?－，y－2?＝λ?－，3－y?， ?2??2?
517??－＝－λ，
2∴?2
??y－2＝λ
－y，
5
λ＝，??17解得?49
y＝??22.
]
→1→→1→
5．如图2-3-20所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC＝OA，OD＝OB，
42
AD与BC相交于点M，求点M的坐标.
【导学号：84352241】
图2-3-20
→1→1?5??5?[解] ∵OC＝OA＝(0,5)＝?0，?，∴C?0，?.
44?4??4?→1→1?3?∵OD＝OB＝(4,3)＝?2，?， 22?2?
?3?∴D?2，?. ?2?
→
设M(x，y)，则AM＝(x，y－5)， →→
CM＝?x，y－?，CB＝?4，?，
44
?
???
5?
?
→?
?
7??
AD＝?2，－?.
2
7?
?
→→∵AM∥AD，
7
∴－x－2(y－5)＝0，
2即7x＋4y＝20. →→∵CM∥CB，
5
①
2019高中数学 课时分层作业20 平面向量共线的坐标表示 新人教A版必修4
