②将底边n等分，构建n个矩形（如图3），求其面积和Sn并化简； ③考虑当n充分大时Sn的逼近状况，并给出S的准确值．
（3）计算图4中抛物线y=2x2与直线y=2x+4所围成的阴影部分面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将n2=
﹣通分化简，根据恒等式的
性质，列出方程即可解决问题．再模仿例题即可解决问题． （2）①根据矩形的面积公式即可即可．
②根据矩形的面积公式以及（1）中的结论即可即可． ③由Sn=
（12+22+32+…+n2）=
=
=+
+
，因为n
充分大时，、
接近于0，所以Sn的值逼近于．
（3）如图4中，设抛物线y=2x2与直线y=2x+4的交点为A、B，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．记曲边三角形AEO的面积为S1，曲边三角形OBF的面积为S2．首先利用逼近法求出S1、S2，再根据S阴=S梯形AEFB﹣S1﹣S2计算即可． 【解答】解：（1）∵n2=
﹣
=
=
∴a=2，b=1时等式成立． ∴12+22+32+…+n2=
=
（2）①S3=?（）2+?（）2+（）2=
②由①可知Sn=
（12+22+32+…+n2）=
﹣
．
+
﹣
，
+…﹣
（12+22+32）=
．
．
24
③∵Sn=
（12+22+32+…+n2）=
=
=+
+
，
∵n充分大时，、接近于0，
∴Sn的值逼近于， ∴S=．
（3）如图4中，设抛物线y=2x2与直线y=2x+4的交点为A、B，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．记曲边三角形AEO的面积为S1，曲边三角形OBF的面积为S2．
由
交点
或
，
∴A（﹣1，2），B（2，8），E（﹣1，0），F（2，0）， 将底边EO分成n等分，构建n个矩形
S1=?2?（）2+?2?（）2+…+?2?（）2=由（2）
可知S1逼近于，同理可得S2逼近于∴S阴=S梯形AEFB﹣S1﹣S2=
?3﹣﹣
， =9．
（1+22+32+…+n2），
【点评】本题考查二次函数综合题，矩形的性质、逼近法求面积等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题，属于创新题目，中考压轴题．
26．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D． （1）求点B的坐标；
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
25
（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且
，求这时点P的坐标．
【考点】D5：坐标与图形性质；KH：等腰三角形的性质；LJ：等腰梯形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）过B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°，在Rt△BQA中，根据三角函数的定义可得QB的长，进而可得OQ的长；即可得B的坐标；
（2）分点P在x正半轴上与x负半轴上上两种情况讨论，结合等腰三角形的性质，可得OP、OC的长，进而可得答案；
（3）根据题意易得△COP∽△PAD，进而可得比例关系
，代入数据可得答案．
【解答】解：（1）过B作BQ⊥OA于Q，则∠COA=∠BAQ=60°， 在Rt△BQA中，QB=ABsin60°=
， ，
∴OQ=OA﹣QA=7﹣2=5． ∴B（5，
（2）①当OC=OP时，若点P在x正半轴上， ∵∠COA=60°，△OCP为等腰三角形， ∴△OCP是等边三角形． ∴OP=OC=CP=4． ∴P（4，0）． 若点P在x负半轴上， ∵∠COA=60°， ∴∠COP=120°．
∴△OCP为顶角120°的等腰三角形． ∴OP=OC=4． ∴P（﹣4，0）
26
）．
∴点P的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
②当OC=CP时，由题意可得C的横坐标为：4×cos60°=2， ∴P点坐标为（4，0） ③当OP=CP时， ∵∠COA=60°，
∴△OPC是等边三角形，同①可得出P（4，0）． 综上可得点P的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°， ∴∠OPC+∠DPA=120°． 又∵∠PDA+∠DPA=120°， ∴∠OPC=∠PDA． ∵∠COP=∠A=60°， ∴△COP∽△PAD． ∴． ∵
，AB=4，
∴BD=， AD=． 即
．
∴7OP﹣OP2=6得OP=1或6． ∴P点坐标为（1，0）或（6，0）．
27
【点评】本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错的题．
28
【初升高】湖南省长沙市第一中学2024中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析
