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课时提升作业(五)
柱体、锥体、台体的表面积与体积
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分) 1.棱长都是1的三棱锥的表面积为 ( ) A.
B.2
C.3
D.4.
【解析】选A.S表=4S正△=4×=
2.如图,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 ( )
A.6
B.9
C.8
D.12
=
,则
【解析】选B.由三视图可知直观图是四棱柱,四棱柱的高为V=
×3×3=9
.
3.(2015·许昌高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 ( )
- 1 -
A.π B.2π C.4π D.8π
【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,由题意得S圆柱侧= 2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.
4.(2015·长春高一检测)已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.C.
B. D.
【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,所以S表= 2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π),又S侧=h2=4π2r2,所以
=
.
5.(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )
A.+2π B.
C. D.
【解析】选B.由三视图可知,该几何体为半个圆锥和一个圆柱构成的组合体.由图中数据可知,半个圆锥的体积为V1=××π×12×1=,圆柱的体积为V2=π×12×2=2π,所以几何体的体积为
.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·延边高二检测)已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径
- 2 -
r= .
【解析】由题意知πr2×4=4π,解得r=答案:
,即底面半径为
.
7.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是 .
【解析】侧面都是直角三角形,故侧棱长等于a, 所以S表=a2+3××答案:
a2
=
a2.
8.(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 . 【解析】由圆锥与圆柱的体积公式可知,V圆锥=πr2h=π·52×4=πr2h=π·22×8=32π,所以圆锥与圆柱的总体积为的底面半径为r′,由题知πr′2×4+πr′2×8=半径为答案:
.
π,V圆柱=
π+32π.设制作后圆锥与圆柱
.所以新的底面
π+32π,解得r′=
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是60°,求圆锥的体积. 【解析】设圆锥的底面半径为r,母线为l, 则2πr=πl,得l=6r.
又S锥=πr2+πr·6r=7πr2=15π,得r=
,
- 3 -
圆锥的高h==
·
=5
,
==·r
V=πr2h=π××5=π.
【拓展延伸】解读旋转体的侧面展开图
(1)圆柱的侧面展开图是一个矩形,矩形两边长分别为圆柱底面周长和高. (2)圆锥侧面展开图是一个扇形,半径为圆锥的母线,弧长为圆锥底面周长. (3)圆台侧面展开图是一个扇环,其两段弧长为圆台两底周长,扇形两半径的差为圆台的母线长.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.
【解题指南】剩余部分几何体不是规则几何体,可利用长方体和棱锥体积的差来求剩余部分的体积.
【解析】已知长方体可以看成直四棱柱,设它的底面ADD1A1的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.
而棱锥C-A1DD1的底面积为S,高为h,故三棱锥C-A1DD1的体积为:
=
h=Sh,
余下部分体积为:Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
【补偿训练】长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V,P是DD1的中点,Q是AB上的动点,求四面体P-CDQ的体积.
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【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a,BC=b,AA1=c,则有V=abc. 由题意知PD=c,S△CDQ=CD·AD=ab, 所以VP-CDQ=S△CDQ·PD=×ab×c =abc=V.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·山东高考)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( ) A.π B.π C.π D.2π
【解析】选C.因为直角梯形ABCD的两底边分别为1,2,高AB=1,则以AD为轴旋转一周所得几何体是圆柱挖去同底的圆锥(高是一半).其体积V=2π-=.
2.(2015·邯郸高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为 ( )
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