§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
重点：几率分布连续性方程的内容及其物理含义 难点：几率流密度矢量
在非相对论量子力学中，粒子数守恒、质量守恒、电荷守恒、总几率守恒成立。本节旨在根据波函数的统计解释和薛定谔方程寻求几率流密度矢量的表示，以表达诸守恒定律。 一、几率分布随时间的变化及连续性方程 1.几率分布随时间的变化
v22
Ψ(r,t)描写态，Ψ描写几率分布，若按Ψ的相对强度在空间涂黑，即形象如一团云，俗称几率云。
假设有很大数目的N个相同的但独立的粒子，同处于Ψ态，则分布Ψ及NΨ也NΨ表示粒子数在空间的分布。Ψ不断随t变化，不断变化，求解薛定谔即可得到它们的变化规律。
因总几率守恒：∫Ψdτ=1，则∫NΨ=N ，如有的区域NΨ
∞
∞
2
2
2
2
222
增加，必然有区域NΨ减少，说明有一定数目的粒子从一个区域转移到了另一区域。寻求一个几率流密度矢量来表示单位时间内穿过单位面积的几率（几率流动），则会使图象更明确。
2.几率分布的连续性方程：
v
在时刻t、r点周围单位体积内粒子出现的几率,即几率密度为： vvv
ω(r,t)=Ψ*(r,t)Ψ(r,t) （假设Ψ归一化） (1) ?ω?Ψ**?Ψ几率密度随时间的变化率是： =Ψ+Ψ (2) ?t?t?t
４５
v
写出S.方程及其共轭复数方程：（注意U(r)为real）
?Ψih21v
=?Ψ+U(r)Ψ (3) ?t2μih
?Ψ*ih1v
=??2Ψ*?U(r)Ψ* (4) ?t2μih
?ω?Ψ**?Ψ将(3)、(4)式代入=Ψ+Ψ,有：
?t?t?t
?ωih21ih2*1vv
=Ψ*?Ψ+U(r)Ψ*Ψ??ΨΨ?U(r)ΨΨ* ?t2μih2μih
=
ih(Ψ*?2Ψ?Ψ?2Ψ*) 2μ
即：
?ωih=??(Ψ*?Ψ?Ψ?Ψ*) ?t2μ
vih令：J≡(Ψ?Ψ*?Ψ*?Ψ) (5)
2μ
v?ω
则：+??J=0 —几率分布的连续性方程 (6)
?t
v?ω
对空间任意一个体积V求积分：∫dτ=?∫??Jdτ
V?tV，有： 利用高斯(Gauss)定理有（外法向为正）
vvd
∫ωdτ=?∫J?dS=?∫JndS (7)
SSdtV
其中Jn为界面S上的法向分量。上式表示单位时间内体积V中几率的
v
增加，等于通过V的界面S流进来的几率，J—几率流密度矢量。 讨论：
４６
①如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则：
vv
∫J?dS=∫JndS=0
S→∞
S→∞
vvd
而∫ωdτ=?∫J?dS=?∫JndS
SSdtV
dd
则：∫ωdτ=∫Ψ*Ψdτ=0
dt∞dt∞
即在整个空间内找到粒子的几率与t无关，总几率守恒。 ②若∫Ψdτ=1，则归一化性质不随时间改变。
∞
2
二、粒子数、质量、电荷守恒定律
v
以粒子数N（很大）乘上ω和J，则：
v2
ωN=Nω=NΨ(r,t)表示在时刻t，在点(x,y,z)的粒子数密度； vvih JN=NJ=N(Ψ?Ψ*?Ψ*?Ψ) 表示粒子流密度。
2μ则：
v?ωN
+??JN=0 —粒子数守恒定律 (8) ?t
于是对空间体积积分后可得出结论：
单位时间内体积V内粒子数的改变等于穿过V的边界面S流出或流入的粒子数。
v
同样，若以粒子质量μ或粒子电荷q乘以ω和J后，得到： ωμ=μω — 质量密度 ， ωq=qω — 电荷密度
vvvv
Jμ=μJ — 质量流密度， Jq=qJ — 电流密度
vv?ωq
+??Jμ=0； +??Jq=0 (9) 则： ?t?t
?ωμ
４７
即为量子力学中质量、电荷守恒定律。 三、波函数的标准条件
Ψ描写体系的物理状态，它必须满足一定的条件，解薛定谔方程时一定要选满足标准条件的解。
v2
1.单值性：因几率密度Ψ、几率流密度矢量J有唯一确定的值，所以v
Ψ是r,t的单值函数。
2.有限性：这样几率密度Ψ才不至于出现无穷大，否则一般无意义。
2
Zesvv
在r=0）， 个别情况除外，如U(r)在个别点→∞（如U(r)=?r
2
则Ψ可在该点→∞，但至少应保证limΨr2→0，即在围绕r=0点
r→0
2
的小球内的几率是有限的，这样可保证总几率有限。
3.连续性：因薛定谔方程含有?2Ψ，故Ψ及?Ψ应连续，否则方程失去意义。
v则J 从连续性方程看，也应这样，如Ψ或?Ψ在某一表面有断裂，断裂。这是不符合几率分布连续性方程的。
但若研究一个刚性壁箱中的粒子，箱内U=0，箱外U=∞，粒子不可能跑出箱外，箱外Ψ=0，由内向边界Ψ→0，这时Ψ=0可保证
v
壁上J=0与外界连续，?Ψ则在壁上有有限断裂。 四、波函数一般是复数
４８
1.薛定谔方程中一边含有虚数“i”，故Ψ不可能是纯实数或虚数。 证明：设Ψ=u+iv，u,v为二实量，代入S.方程：
h22?Ψv ih=??Ψ+U(r)Ψ
?t2μ
然后让等号两边的实部、虚部分别相等，得：
h22?u?vh22vv=??v+U(r)v；h=?u?U(r)u h?t2μ?t2μ
可见u,v彼此相联，不论哪一个都不是S.方程的解，只有复数才是解。
vih(Ψ?Ψ*?Ψ*?Ψ)式看Ψ也不可能是纯实量或虚量 2.从J≡2μ
v
如果u,v有一个恒为0，则J≡0，不能描写体系的运动，故波函数一般应为复数
v
注：但在定态波函数中Ψ(r)为实数，描写驻波是可以的。
４９
物理学相关 chapter2.4
