2024年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设z= ，则|z|=（ ）
A. B.
A. 2 B.
C. D. 1
2. 已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B∩?UA=（ ）
A. B. C. D. 6，
0.20.3
3. 已知a=log20.2，b=2，c=0.2，则（ ）
A. B. C. D.
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体
C. D.
-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离10. 双曲线C：
心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金分割
11. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=- ，则 =（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
B两点.若 ， ，过F2的直线与C交于A，12. 已知椭圆C的焦点为 ，
则C的方程为（）
比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm
5. 函数f（x）= 在[-π，π]的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线y＝3（x2＋x）ex在点（0，0）处的切线方程为________．
14. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，S3= ，则S4=______． 15. 函数f（x）=sin（2x+ ）-3cosx的最小值为______．
A.
B.
C.
D.
，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到16. 已知∠ACB=90°
平面ABC的距离为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意
或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 女顾客 40 30 10 20 6. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样
方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生
=（ ） 7. tan255°
A. B. C. D.
， |=2| - 与 8. 已知非零向量 满足| |，且（ ）⊥ ，则 的夹角为（ ）
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
2
附：K= ．
P（K2≥k） k
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 A. 9. 如图是求
B.
C.
D.
的程序框图，图中空白框中应填入（）
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18. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，
∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20. 已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21. 已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由．
，t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ ρsinθ+11=0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．
23. 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
222
（1） + + ≤a+b+c；
333
（2）（a+b）+（b+c）+（c+a）≥24．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是可得咽喉至肚脐的长度小于
≈42cm，
≈0.618，
解：由z=故选：C．
，得|z|=||=． 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可得肚脐至足底的长度小于
=110，
，
直接利用复数商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题． 2.【答案】C
【解析】
即有该人的身高小于110+68=178cm， 又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于65+105=170cm， 故选：B．
充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．
本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 5.【答案】D
【解析】
解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}， ∴CUA={1，6，7}， 则B∩?UA={6，7} 故选：C．
先求出CUA，然后再求B∩?UA即可求解
本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题． 3.【答案】B
【解析】
解：∵f（x）=∴f（-x）=
，x∈[-π，π]， =-=-f（x），
解：a=log20.2＜log21=0， b=20.2＞20=1，
0.30
∵0＜0.2＜0.2=1， 0.3
∴c=0.2∈（0，1），
∴f（x）为[-π，π]上的奇函数，因此排除A； 又f（）=故选：D．
由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C． 本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．
＜1，从而得出a，b，c的大
6.【答案】C
【解析】
，因此排除B，C；
∴a＜c＜b， 故选：B．
由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，2小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题． 4.【答案】B
【解析】
0.2
＞1，0＜0.2
0.3
解：：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本， ∴系统抽样的分段间隔为∵46号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增
=10，
解：头顶至脖子下端的长度为26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
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加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列， 设其数列为{an}，则an=6+10（n-1）=10n-4， 当n=62时，a62=616，即在第62组抽到616． 故选：C．
可．
本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题． 9.【答案】A
【解析】
解：模拟程序的运行，可得： A=，k=1；
根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，
满足条件k≤2，执行循环体，A=
结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码． 本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔． 7.【答案】D
【解析】
，k=2； ，k=3；
满足条件k≤2，执行循环体，A=
此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=故选：A．
．
，
=tan（180°+75°=tan（45°+30°解：tan255°）=tan75°） =故选：D．
模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．
利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，
本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题． 8.【答案】B
【解析】
==．
是基础题． 10.【答案】D
）⊥
，
，
【解析】
解：∵（∴=∴
-
解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=，
，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得则∴
=
，
=
， ．
，
=∵∴
=，
， ．
得∴e=故选：D． 由已知求得
故选：B． 由（
-）⊥
，可得
，进一步得到
，然后求出夹角即
，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率．
本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
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11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．
解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinA-bsinB=4csinC，cosA=-， ∴
2
解得3c=
，
，
对y=3（x2+x）ex求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程． 【解答】
2x
解：∵y=3（x+x）e， x2
∴y'=3e（x+3x+1），
∴=6． 故选：A．
∴当x=0时，y'=3，
利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12.【答案】B
【解析】
2x
∴y=3（x+x）e在点（0，0）处的切线斜率k=3，
∴切线方程为：y=3x． 故答案为：y=3x． 14.【答案】 【解析】
解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|， 又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|， 又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=， ∴|AF2|=a，|BF1|=a，
在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得+b2=a2-c2=3-1=2． 所以椭圆C的方程为：故选：B．
根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=本题考查了椭圆的性质，属中档题． 13.【答案】y=3x
【解析】
解：∵等比数列{an}的前n项和，a1=1，S3=， ∴q≠1，整理可得，
，
=0，解得a2=3，∴a=
．
解可得，q=-， 则S4=
=
=．
=，
，
故答案为：
+
=1．
利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
，b=
，可得椭圆的方程．
15.【答案】-4
【解析】
解：∵f（x）=sin（2x+）-3cosx，
=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1，
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2024年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)(解析版)
